Формализм о малых и О-больших

[max(Im)]

Имеется следующая запись:

$$ \sum\limits_{k=1}^n o(k) = o(n^2) $$

Не имеет значения, верно это или нет. Почему это кажется записанным криво?

Обычно считается (вот, например, Википедия):
"Например, $\sum\limits_{i=1}^n O(n_i^2)$ — содержит только одну функцию из класса $O(n^2)$." В чём смысл этой фразы?

[ewert]

max(Im) в сообщении #551371 писал(а):

$$ \sum\limits_{k=1}^n o(k) = o(n^2) $$

Не имеет значения, верно это или нет. Почему это кажется записанным криво?

Это ни верно, ни неверно -- это бессмысленно. Выражение типа $o(3)$ лишено смысла, поскольку $3$ -- не переменная.

max(Im) в сообщении #551371 писал(а):

"Например, $\sum\limits_{i=1}^n O(n_i^2)$ — содержит только одну функцию из класса $O(n^2)$." В чём смысл этой фразы?

Аналогично -- ни в чём, но несколько по другим причинам: неизвестно, что такое $n_i$ и как они связаны между собой и с $n$ (и связаны ли вообще).

[_hum_]

ewert в сообщении #551375 писал(а):

Выражение типа $o(3)$ лишено смысла, поскольку $3$ -- не переменная.

Может, я чего не понимаю, но всю жизнь под обозначением $o(g(x))$ (при $x \rightarrow x_0$) понималась всякая функция $f(x)$, представимая в виде $f(x) = \alpha(x) g(x)$, где $ \alpha = \alpha(x)$ -- бесконечно малая при $x \rightarrow x_0$ величина ($ \alpha(x) \rightarrow 0,\, x \rightarrow x_0$). Соответственно, запись $o(3)$ как и $o(1)$ имеет смысл бесконечно малой величины.

[ewert]

_hum_ в сообщении #551396 писал(а):

$o(3)$ как и $o(1)$ имеет смысл бесконечно малой величины.

$o(1)$ -- да, но скорее как жаргон (хотя осмысленна и формально). А вот $o(3)$ смотрится уже вполне нелепо. Примерно так же нелепо, как, скажем, $O(\frac{379}{45}h^2)$.

Хотя встречаются совсем уж анекдоты, притом во вполне официальных источниках. На сайте att.nica.ru есть репетиционные варианты аттестационного тестирования. Никогда не забуду одну замечательную задачку. Требовалось найти приближенное значение $\arctg0.98$. И, как положено, предлагались четыре варианта ответа, типа: $\frac{\pi}{4}-0.01+o(0.02)$. Причём варьировались первые два слагаемых, но не последнее! Видимо, авторы на полном серьёзе убеждены, что именно так и надо.

Впрочем, у них там и другие хохмы встречались (например, уже хотя бы то, что эту задачку они зачислили по разряду "численные методы", но не только это).

[JMH]

Вобще говоря, выражению можно было бы придать некий смысл, если бы было указано, куда стремится $n$...

[Diom]

_hum_ в сообщении #551396 писал(а):

Соответственно, запись $o(3)$ как и $o(1)$ имеет смысл бесконечно малой величины.

Без указания аргумента в качестве которого выступает переменная термин бесконечно малая, на мой взгляд, звучит как-то несуразно.

[arseniiv]

Diom в сообщении #551676 писал(а):

Без указания аргумента в качестве которого выступает переменная термин бесконечно малая, на мой взгляд, звучит как-то несуразно.

Обычно ведь подразумеваются переменные, от которых зависят функции в том же контексте.

[Профессор Снэйп]

Нас когда-то учили так, что $o(x)$ и $O(x)$ - это не функции, а классы функций. Просто исторически сложилась практика писать разные некорректности типа $f(x) = O(x)$ вместо $f(x) \in O(x)$ или

$$ f(x) = \sum_{i = 0}^n \frac{f^{(i)}(0)}{i!} x^i + o(x^n) $$

вместо

$$ f(x) = \sum_{i = 0}^n \frac{f^{(i)}(0)}{i!} x^i + r(x^n), \,\,\,\,\, \text{ где } r(x) \in o(x). $$

В связи с этим запись в стартовом сообщении, конечно же, выглядит криво. Да и, честно говоря, в более общепринятых случаях (типа двух приведённых выше) записи тоже подразумевают некие неявные договорённости, которые ясный ум должен без устали расшифровывать. Вообще, вся эта о-символика - устаревший анахронизм, от которого в современных курсах матанализа следует беспощадно избавляться!

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #551896 писал(а):

Вообще, вся эта о-символика - устаревший анахронизм, от которого в современных курсах матанализа следует беспощадно избавляться!

Интересно было бы узнать, почему.

[Профессор Снэйп]

nnosipov в сообщении #551897 писал(а):

Интересно было бы узнать, почему.

Потому что некорректно! Равенство - это равенство, и как одна функция может быть равна целому классу функций?

-- Вс мар 25, 2012 14:06:04 --

А потом удивляемся, откуда в задачниках возникают глупости типа процитированной выше $o(0.02)$. Если уж авторы задачников сами не до конца понимают смысл о-символики, то что говорить о студентах, которые на их задачах "учатся"! Небольшой выигрыш, получаемый сокращением записи, оборачивается большой кашей в мозгах. И так поколение за поколением...

[nnosipov]

Ну и пусть некорректно, зато удобно. Вот в алгебре пишут равенства типа $1=\gcd{(f(x),g(x))}$, тоже весьма удобно.

[Профессор Снэйп]

Да и вообще, в матане столько разной глупости, доставшейся нам в наследство от старых времён!

Например, одна из самых распространённых фраз: "дана функция $f(x)$"... Вот чешуя же полная! Правильно говорить "дана функция $f$", а $f(x)$ - это не функция, а значение функции на аргументе $x$. Иной раз, конечно, удобно писать $f(x)$ для обозначения функции целиком, но потом ведь это удобство оборачивается тем, что у студентов нет ясного понимания предмета, и приходится в поте лица лопатой разгребать скопившиеся в студенческих мозгах тонны протухшего дерьма!

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #551899 писал(а):

А потом удивляемся, откуда в задачниках возникают глупости типа процитированной выше $o(0.02)$

Такого ни разу не видел. А халтура всегда была и будет. Студентам нужно советовать хорошие, проверенные временем учебники и задачники. И просто запрещать читать хрен знает кем написанные методички.

[Профессор Снэйп]

nnosipov в сообщении #551902 писал(а):

Вот в алгебре пишут равенства типа $1=\gcd{(f(x),g(x))}$, тоже весьма удобно.

Здесь-то как раз всё нормально, никакой некорректности нет. Наибольший общий делитель двух чисел равен числу $1$. Алгебраисты, в отличие от матанщиков, более здравомыслящие ребята.

-- Вс мар 25, 2012 14:18:15 --

nnosipov в сообщении #551909 писал(а):

Студентам нужно советовать хорошие, проверенные временем учебники и задачники.

Следует ли это понимать так, что новых учебных пособий появляться вообще не должно? Ведь все эти "проверенные временем" когда-то тоже были новыми и только изданными. И наверняка выросли из методичек, написанных "хрен знает кем"

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #551907 писал(а):

это удобство оборачивается тем, что у студентов нет ясного понимания предмета, и приходится в поте лица лопатой разгребать скопившиеся в студенческих мозгах тонны протухшего дерьма!

Такой уж у Вас предмет ... слишком формальный .