2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предел последовательности n(2^{1/n} - 1)
Сообщение27.12.2006, 13:47 
Что-то я никак не могу взять элементарный предел - даже самому как-то неловко спрашивать, но мозги отказывают
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n(2^{1/n}  - 1)\]

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 13:53 
Аватара пользователя
Например, можно решить так: замените n на $1/x$, получится предел $\lim\limits_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}$. Дальше --- Лопиталь.

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 13:54 
Ответ: $ln(2)$

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 13:55 
Аватара пользователя
Угу.

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 15:12 
Спасибо

Lion писал(а):
Например, можно решить так: замените n на $1/x$, получится предел $\lim\limits_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}$. Дальше --- Лопиталь.

Во до меня как-то доходит - этот предел очень похож на следствие из второго замечательного предела: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (1 + 1/x)^x  = e$$ или $$\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to 0 + } (1 + \alpha )^{{1 \over \alpha }}  = e$$ при замене $$1/x = \alpha $$
1. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln (1 + x)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln \left[ {(1 + x)^{1/x} } \right] = \ln \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}  = \ln e = 1$$
2. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{e^x  - 1} \over x} = \left\langle {y = e^x  - 1} \right\rangle  = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {y \over {\ln (1 + y)}} = 1$$
И наконец: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2^x  - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{e^{x\ln 2}  - 1} \over x}$$
И в общем случае: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{a^x  - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{e^{x\ln a}  - 1} \over x}$$

Правильно ли я написал. Вы уж извините меня - что-то к концу года плохо соображается :)

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 17:17 
Аватара пользователя
Да, Вы правы. Осталось только добавить, что $\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x}=\ln a\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}=\ln a\lim\limits_{y\to0}\frac{e^y-1}{y}=\ln a$. По-моему, у нас на лекциях этот предел так и вычислялся.

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 18:18 
Аватара пользователя
Боюсь наскучить, но Лопиталь опять не в тему - всё-таки один из замечательных пределов.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group