свободно движущаяся частица

[Golenostopov]

Добрый вечер! Буду очень благодарен, если вы поможете мне со следующим вопросом.

Надо доказать, что для свободно движущейся частицы экстремали действия доставляют его минимальные значения.

К сожалению, не разбираюсь в этой теме. Подскажите хотя бы идею!

[svv]

Вот хорошая идея. Надо сначала выяснить, как выглядит это действие для свободной частицы. Довольно просто выглядит, но надо выяснить, как именно, и из этого исходить.

А Вы в какой теме не разбираетесь -- в релятивистской динамике, в вариационном исчислении или в обеих темах?

[Golenostopov]

Видимо, ни в том, ни в другом... Это задача оказалась для меня трудной. Не могли бы Вы объяснить чуть подробнее?

[svv]

Найдите, пожалуйста, где-нибудь (учебники, справочники, конспект, интернет) действие для частицы и выпишите. Для этого и не надо особо разбираться, здесь будет достаточно умения списывать.

[obar]

Golenostopov в сообщении #551152 писал(а):

Надо доказать, что для свободно движущейся частицы экстремали действия доставляют его минимальные значения.

В принципе, это ясно и без вычислений. Действие для свободной частицы

$$ S[q]=\int_{(q_1,t_1)} ^{(q_2,t_2)}\frac{m}{2}\,v^2(t)\,dt $$

минимально когда скорость движения между точками $(q_1,t_1)$ и $(q_2,t_2)$ минимальна. Поскольку время движения фиксированно, то минимум скорости достигается при равномерном движении по прямой.

[Munin]

obar
Ну вы же понимаете, что этого недостаточно, надо отсечь варианты, в которых скорость сначала большая, а потом маленькая. Суть как раз в том, что минимален именно квадрат, а не первая степень скорости. До сих пор помню это место в Фейнмане, ФЛФ-6 гл. 19.

[obar]

Munin в сообщении #551231 писал(а):

надо отсечь варианты, в которых скорость сначала большая, а потом маленькая

Ну, это просто. Пусть $v_0=\frac{\Delta q}{\Delta t}$ -- средняя скорость. Тогда для произвольной зависимости $v(t)=v_0+\delta v(t)$

$$ \Delta q=\int_{t_1}^{t_2}vdt=\int_{t_1}^{t_2}v_0dt+\int_{t_1}^{t_2}\delta vdt\quad \Rightarrow\quad \int_{t_1}^{t_2}\delta vdt=0. $$

Следовательно

$$ \int_{t_1}^{t_2}v^2dt=\int_{t_1}^{t_2}(v_0^2+2v_0\delta v+\delta v^2)dt= \int_{t_1}^{t_2}(v_0^2+\delta v^2)dt>\int_{t_1}^{t_2}v_0^2dt. $$

[Munin]

Видите, всё-таки не обошлось без вычислений :-)