Исследовать нулевое решение системы на устойчивость

[Sverest]

Исследовать нулевое решение системы на устойчивость с помощью критериев Рауса, Гурвица и Михайлова:
$y^{(4)}+3\dddot{y}+5\ddot{y}+10\dot{y}+6y=0$

что такое нулевое решение системы?

[Someone]

$y=0$

[Sverest]

$y^{(4)}$ это же не степень, а производная 4-й степени?

[ewert]

Что такое "устойчивость решения системы"?

[Sverest]

википедия

Цитата:

В математике, решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений с близким начальным условием «не сильно отличается» от поведения исходного решения.

[ИСН]

Это всё понятно, а вот зачем на неё придумали столько разных критериев?

[ewert]

Sverest в сообщении #551112 писал(а):

википедия

Цитата:

В математике, решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений с близким начальным условием «не сильно отличается» от поведения исходного решения.

Это лирика, а не определение; но для начала сойдёт. Что такое "решение дифференциального уравнения?"...

[Sverest]

ИСН в сообщении #551116 писал(а):

Это всё понятно, а вот зачем на неё придумали столько разных критериев?

ну каждый человек придумал свой критерий, может одни критерии удобней использовать в одних ситуациях, другие в других

-- Чт мар 22, 2012 17:09:45 --

ewert в сообщении #551118 писал(а):

Sverest в сообщении #551112 писал(а):

википедия

Цитата:

В математике, решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений с близким начальным условием «не сильно отличается» от поведения исходного решения.

Это лирика, а не определение; но для начала сойдёт. Что такое "решение дифференциального уравнения?"...

функция удовлетворяющая этому уравнению

[ewert]

Sverest в сообщении #551134 писал(а):

функция удовлетворяющая этому уравнению

Прекрасно, решение -- это функция. Вас интересовало, что такое нулевое решение. Для этого достаточно выяснить, что такое нулевая функция.

ИСН в сообщении #551116 писал(а):

а вот зачем на неё придумали столько разных критериев?

Сколько "столько"?... Там всего два и упоминалось: критерий Рауса-Гурвица и критерий Михайлова. Причём второй является естественной базой для доказательства первого.

Кстати, в порядке анекдота: в той Википедии, на которую была ссылка, сказано, что критерии Рауса и Гурвица эквивалентны. Хотя вообще любые два критерия эквивалентны -- просто по определению критерия.

[srm]

Sverest, так в чём, собственно, проблема?
1. С критерием Гурвица всё ясно - строите матрицу Гурвица, высчитываете миноры.
2. С критерием Михайлова тоже ничего сложного. Выполняете преобразование Фурье, строите годограф частотной характеристики и смотрите на сколько четвертей он поворачивается.

-- Чт мар 22, 2012 19:06:56 --

ewert в сообщении #551141 писал(а):

Хотя вообще любые два критерия эквивалентны -- просто по определению критерия.

Не совсем. Есть разные определения устойчивости и, соответственно, разные критерии, разные результаты.
Например, тривиальное решение СДУ может быть устойчивым по Ляпунову, но Гурвицев критерий устойчивости может и не выполняться.

[ewert]

srm в сообщении #551159 писал(а):

Выполняете преобразование Фурье, строите годограф частотной характеристики и смотрите на сколько четвертей он поворачивается.

Не уверен. Скорее всего, имелся в виду "второй" критерий Михайлова: насчёт правильного чередования корней "многочленов Михайлова".

srm в сообщении #551159 писал(а):

Не совсем. Есть разные определения устойчивости и, соответственно, разные критерии, разные результаты.

Совсем. Критерий -- это необходимое и достаточное условие, и любые два критерия по определению эквивалентны. А Раус с Гурвицем обсуждают ровно одно и то же, причём Раус -- это всего лишь компактный алгоритм проверки критерия Гурвица (и, соотв., Гурвиц -- всего лишь компактная формализация схемы Рауса; уж не помню, кто из них был курицей, а кто яйцом).

[Sverest]

$y^{(4)}+3\dddot{y}+5\ddot{y}+10\dot{y}+6y=0$
В этом уравнении:
$a_0=1$
$a_1=3$
$a_2=5$
$a_3=10$
$a_4=6$
на счет $a_4$ это правильно? Или здесь нет $a_4$?

[ИСН]

В книге "Человек, который принял жену за шляпу" есть глава про пациента, который принял свою ногу за чужую Его спрашивают: "Где же тогда твоя нога?", а он такой: "Э?"
Это так, к слову пришлось.
Да, здесь есть $a_4$, и шесть - это оно.

[Sverest]

критерии Михайлова и Найквиста это одно и тоже?

[Sverest]

годограф получился таким, значит система неустойчива