Компл. анализ

[podsekalnikov]

$f$-целая функция (не многочлен). $M(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|$. Требуется доказать, что

$$\lim_{r \to+\infty}\frac{\ln(M(r))}{\ln(r)} = +\infty$$

Знаю, как доказать, что $\lim_{r \to+\infty}M(r) = +\infty$. Может ли это как-то помочь в решении данной задачи?

[Padawan]

Предположим, что найдется последовательсность $r_n\to+\infty$,такая, что $\frac{\ln M(r_n)}{\ln r_n}\leqslant \rho<+\infty$. Тогда $M(r_n)\leqslant r_n^\rho$. Используя неравенства Коши для тейлоровских коэффициентов, получаем, что $f$ -- многочлен степени не выше $\rho$.