2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Последовательность вложенных шаров с пустым пересечением
Сообщение27.12.2006, 09:21 
Помогите пожайлуста!!
Мне надо приветси пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нем, имеющей пустое пересечение

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 09:27 
Аватара пользователя
Возьмите множество натуральных чисел с такой метрикой
$$\rho(m,n)=\begin{cases}0,&m=n;\\
                                      1+\frac1{m+n},& m\ne n.\end{cases}$$
Дальше уж сами придумайте.

 
 
 
 не приходит в голову
Сообщение27.12.2006, 10:42 
возьмет множесво натуральных чисел
ну возьмем шары вложенные но их радиусы стремятся к 1: первый шар S1 имеет радиус 1+1, S2 радиуса 1+1/2... Sk радиуса 1+1/2^(k-1)

S1 возьмем с центром 1/2, S2 с центром 1/2+1/2 и т.д
Получили вложенные шары
Если в качестве последовательности рассмотреть центры , эта последовательность будет стремится к 1
Последовательность шаров получилась вложенная, и как мне представляется пересечением будет граница шара радиуса 1?????

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 10:53 
Аватара пользователя
Не совсем понял (точнее, совсем не понял), что значит шар с центром $\frac12$. В нашем метрическом пространстве нет такой точки.
Для построения примера достаточно заметить, что для любого натурального $n$ множество $\{n,n+1,n+2,n+3,\ldots\}$ является замкнутым шаром (центр и радиус сами подберите).

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 11:19 
насчёт того , что я говорила-да там нельзя брать 1/2.
Получается можно взять множество целых чисел ,
помоему метрику можно взять обычную: p(n,m)=|n-m|, это множество по прежнему будет полным .(зачем брать такую метрику).
берем первое множество {1,2,3,..},
второе множество {2,3,4,...}, и т.д.
полуечим замкнутые вложенные мно-ва, в пересечении будет пусто.

А если взять мно-ва вложенные ограниченные и закнутые в полном метрическом про-ве будет ли пересечение пустым , по моему он будет не обязательно пусто

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 11:28 
Аватара пользователя
В задании требуется не просто замкнутые множества, а именно замкнутые шары. Поэтому и такая экзотическая метрика.

Добавлено спустя 2 минуты 31 секунду:

Это требуется для того, чтобы показать, что условие "радиусы шаров стремятся к 0" в упомянутом принципе вложенных шаров существенно.

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 11:39 
Вы не высказали своего мнения по поводу: если взять эти множества ещё и ограниченными?

Добавлено спустя 39 секунд:

Я поняла про шары, но Вы не высказали своего мнения по поводу: если взять эти множества ещё и ограниченными?

 !  Dan_Te:
Пожалуйста, просматривайте свои предыдущие сообщения прежде, чем написать новые.

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 11:41 
Аватара пользователя
В моем примере множества ограниченные (любой шар - ограниченное множество), пересечение пусто.

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 11:57 
Извените , я тормоз, сразу не обратила внимание.

 
 
 
 
Сообщение27.12.2006, 11:58 
Аватара пользователя
Извиняю, Вы не тормоз, просто сразу не обратили внимание.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group