Колебания пружинного маятника

[ramilguliev]

Железный цилиндр высотой 5 см подвесили в вертикальном положении на пружине и частично погрузили в воду. Чему равна циклическая частота малых вертикальных колебаний такого цилиндра, если до погружения в воду циклическая частота колебаний на пружине была 12 рад/с? Трением пренебречь. Плотность железа 8000 кг/м3.

По второму закону Ньютона:

$F_{\text{равн}} = ma$

Далее, выражал силы, действующие до погружения: сила упругости

А потом, силы действующие после погружения: сила упругости, сила Архимеда.

$x=A\cos (\omega t + \varphi_0)$.

Далее находил первую и вторую производные по смещению, подставил все во второй закон Ньютона, и думал, что как-нибудь найду цикл. частоту, но все сократилось, и, соответственно, частоту не нашел.

Прошу дать хотя бы намек, как начать решать данную задачу.

Заранее благодарен.

[Парджеттер]

То, что у вы пишете словами никак не согласовано с написанными вами формулами.
Суть в том, чтобы грамотно описать обе ситуации, а потом их связать.

[ramilguliev]

Рассмотрим систему до и после погружения:



Запишем второй закон Ньютона:

1). До погружения:

$m \ddot{x} = F_{\text{упр}} - F_{\text{т}} $

$m \ddot{x} = -kx - mg$

Разделим обе части на m:

$\ddot{x} = -\omega_{0}^{2}x - g$

Выразим отсюда $\omega_{0}^{2}$:

$\omega_{0}^{2} = \frac {-\ddot{x} - g}{x}$


2). После погружения:

$m \ddot{x} = F_{\text{упр}} - F_{\text{т}} + F_a$

$m \ddot{x} = -kx - mg + \rho_{\text{воды}} g V_{\text{цил}}$

Разделим обе части на m:

$\ddot{x} = -\omega^{2}x - g +\frac{\rho_{\text{воды}} g}{\rho_{\text{жел}}}$

Выразим отсюда $\omega^{2}$:

$\omega^{2} = \frac{-\ddot{x}- g +\frac{\rho_{\text{воды}} g}{\rho_{\text{жел}}}}{x}$

Заменим выражение $\frac {-\ddot{x} - g}{x}$ на $\omega_{0}^{2}$:

$\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + \frac {\frac{\rho_{\text{воды}} g}{\rho_{\text{жел}}}}{x}$

Вот здесь я не знаю откуда взять X, и не совсем понятно, с чем связать высоту цилиндра.

[ramilguliev]

И все-таки? Хотя бы намек, с чем связать высоту цилиндра.

[Himfizik]

Цитата:

Неправильно ты, Дядя Федор, бутерброд ешь...

Вы не ввели систему координат, почем зря. Оттого отчасти и все Ваши беды, что пишите Вы $x$, а отчего Вы его меряете, не знаете. Подумайте вот еще над каким фактом, что будет (частота колебаний как изменится), если я добавлю постоянную силу или произведу линейное преобразование координат, например такое: $x=l-y$ (это все в качестве маленького упражнения, чтобы не возникало всяких вопросов, про перенос начала координат и добавление постоянных величин в уравнение колебаний). А вообще, силу Архимеда через осмысленно введенный $x$ выразите.

P.S. Не очень хорошо, что Вы выражаете циклическую частоту, величину постоянную, через меняющиеся со временем координату и ускорение. Лучше писать, как принято $\omega^2=k_{eff}/m$.

[Munin]

У вас неправильно записано уравнение в ситуации после погружения. Вы должны вспомнить, что цилиндр частично погружён, и в процессе колебаний высота, на которую он погружён - меняется. Это раз.

Частоту вы из уравнения выражаете неправильно - это два.