голоморфная функция

[Oleg Zubelevich]

Даже не знаю, сложная это задача или нет. У меня она получилась из очень косвенных соображений.

Пусть $D\subset\mathbb{C}$ -- ограниченная область с гладкой границей. Функция $f:\overline D\to\mathbb{C}$ голоморфна в $D$ инепрерывна в $\overline D$. Известно, что $f$ имеет в $D$ ноль. Тогда найдется точка $z'\in \partial D$ такая, что $f(z')+|f(z')|=0$.

[ewert]

Если на границе функция не обращается в ноль, то по принципу аргумента его приращение после обхода границы ненулевое -- и, значит, хотя бы в одной точке границы аргумент равен нечётному количеству $\pi$.

[Oleg Zubelevich]

Хорошо. Теперь самое интересное (а может и не очень интересное).

Пусть $D\subset \mathbb{C}$ -- ограниченная область с гладкой границей. Функция $F:\overline D\to\mathbb{C}$ непрерывна, но будем сохранять комплексный формализм.
Функция $f:\overline D\to \mathbb{C}$ непрерывна в $\overline D$ и голоморфна в $D$.

Доказать, что если функция $f$ имеет в $D$ ноль и для всех $z\in\partial D$ выполнено неравенство
$$|f(z)|F(z)+f(z)|F(z)|\ne 0$ то уравнение $F(z)=0 $ имеет решение в $ D$.

[ewert]

Ну дело сводится к "обобщению принципа аргумента" на непрерывный случай: если приращение аргумента на границе ненулевое, то где-то внутри есть ноль. Для односвязной области это очевидно хотя бы потому, что такая область гомеоморфна кругу, для двусвязной -- тоже (гомеоморфность кольцу), а про многосвязные мне лень думать.

[Oleg Zubelevich]

ну так мы все умеем

[ewert]

А как надо уметь и почему так уметь не надо?...