Помогите решить к/р (разные задачи)

[Chupa]

Подскажите, пожалуйста, как решить несколько заданий:

1. Зависимость между количеством вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением $x=A(1-e^{kt})$, где A и k - постоянные. Определить скорость реакции.

Вообще не знаю с чего начать. Помню, что вроде скорость - это первая производная от времени, или вторая

2. Используя правило Лопиталя, найти предел: $\lim\limits_{n \to \infty} (e^{2x}+x)^ \frac{1}{x}$.

3. В прямоугольной системе координат через точку М (1;4) проведена прямая, пересекающаяся с положительными осями координат. Написать уравнение прямой, если сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, принимает найменьшее значение.

Вообще не понимаю о чём речь идёт. Уравнение прямой вроде $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

4. Для функции y=y(x), заданной уравнениями $x=^3\sqrt{1-\sqrt{t}}$, $y=\sqrt{1-^3\sqrt{t}}$, найти $\frac{dy}{dx}$ и $\frac{d^2y}{dx^2}$.

5. Выполняется ли теоремя Ролля для функции $f(x)=^3\sqrt{8x-x^2}$, если a=0, b=8. При каком значении $\psi$?

Теорема Ролля выполняется при трёх условиях: если f(x) 1) определена и непрерывна на отрезке [a;b], 2) дифференцируема в интервале (a,b), 3) f(a)=f(b). Третий пункт я проверил, как определить первые два?

[Lion]

Скорость --- это первая производная по времени. Соответственно, чтобы найти скорость реакции, надо продифференцировать функцию $x(t)$ по t.
Насчет №2. Сначала вспомните, когда применяется правило Лопиталя. Потом сотрите ту чушь, которую Вы написали. Потом запишите предел в виде $e^{\frac{\ln(e^{2x}+x)}{x}}$. Потом воспользуйтесь правилом Лопиталя.

[Capella]

Chupa

Вторая производная по времени это ускорение.
Насчёт Вашей четвёртой задачи - идею Вы можете найти на форуме, задачи с похожей формулирорвкой решались в достаточном количестве в последнии дни и хорошо разобраны (поищите в других темах)

[Chupa]

Lion писал(а):

Скорость --- это первая производная по времени. Соответственно, чтобы найти скорость реакции, надо продифференцировать функцию по t.

После дифференцирования получаем: $x'_t=A(-e^{kt})(kt')$?

Lion писал(а):

Потом запишите предел в виде. Потом воспользуйтесь правилом Лопиталя.

$\lim\limits_{n \to 0} (e^{2x}+x)^\frac{1}{x} = e^{\lim\limits_{n \to 0} \frac{ln(e^{2x}+x)}{x}} = e^{\lim\limits_{n \to 0} \frac{2e^{2x}+1}{e^{2x}+x}} = e^3$. Так?

[Lion]

Продифференцировали Вы правильно, только $t'=1$, поэтому этот множитель можно не писать.
Предел вычислен правильно.
В адаче 3 нужно получить такую систему:

$$\left\{\begin{align}1/a+4/b=1\\ a,b>0\\ a+b\to \min\end{align}\right.$$

Дальше выражаете a через b и находите минимум получившегося выражения от b.
В задаче №5 очевидно, что функция определена на $[0;8]$. Непрерывность следует из общей теоремы о непрерывности композиции непрерывных функций (для данной достаточно сказать, что непрерывность очевидна). Чтобы проверить п.2, найдите производную и посмотрите, не обращается ли она в бесконечность на $(0;8)$.

[Chupa]

Lion писал(а):

Дальше выражаете a через b и находите минимум получившегося выражения от b.

$\frac{1}{a}=1-\frac{4}{b}$
$a=\frac{b}{b-4}$
А что значит минимум выражения от b, не могу понять?

Capella писал(а):

Насчёт Вашей четвёртой задачи - идею Вы можете найти на форуме, задачи с похожей формулирорвкой решались в достаточном количестве в последнии дни и хорошо разобраны (поищите в других темах)

Не могу найти даже первую производную. При делении одного корня на другой по формуле $y'_t=\frac{y'(x)}{x'(x)}$, даже представив их в степенной форме, не могу упростить.

Добавлено спустя 5 минут 34 секунды:

Chupa писал(а):

При каком значении $\psi$?

Что обозначает пси в этом задании?

[Capella]

Chupa писал(а):

Не могу найти даже первую производную. При делении одного корня на другой по формуле $y'_t=\frac{y'(x)}{x'(x)}$, даже представив их в степенной форме, не могу упростить.

Я подскажу с одной из производных, а Вы сделате аналогино и втрорую.
Имеем:

$$(1 - t^{\frac 1 2})^{\frac 1 3}$$

Это сложная функция, её надо продифференцировать сначала по внешней степени, а затем домножить на внутренюю производную

$$ ((1 - t^{\frac 1 2})^{\frac 1 3})' = \frac 1 3 (1 - t^{\frac 1 2})^ {-\frac 2 3} \cdot \frac 1 2 \cdot t^{-\frac 1 2}\cdot(-1)$$

Добавлено спустя 17 минут 28 секунд:

Chupa писал(а):

А что значит минимум выражения от b, не могу понять?

Минимум функции от переменной $b$, которую Вы имеете после преобразований.

[Chupa]

Capella писал(а):

Я подскажу с одной из производных, а Вы сделате аналогино и втрорую.

Получилось $y'_x=-\frac{t^-\frac{1}{6}}{1-t^-\frac{1}{3}}$.

Capella писал(а):

Минимум функции от переменной , которую Вы имеете после преобразований.

Извиняюсь за свою тупость, мозги уже не варят совсем, не могу понять о чём идёт речь
Благодарю обоих за помощь, за два дня решил 12 заданий. Завтра модуль, надеюсь всё пройдёт успешно.

[Capella]

Вы подставляете все Ваши преобразования в уравнение, у Вас должно получиться что-то около

$$ \frac {b} {b -4} + b$$

. Надо сделать тепрь производную от

$$f(b) \to f'(b)$$

и приравнять её 0.
Минимум ищете от суммы.

[RIP]

Chupa писал(а):

Chupa писал(а):

При каком значении $\psi$?

Что обозначает пси в этом задании?

Вы нас спрашиваете?
Судя по всему, под пси подразумевают точку в интервале $(0;8)$, в которой производная равна нулю. Больше ничего в голову не приходит.