В этой теме нечто подобное обсуждалось. Не знаю, правда, сойдёт или нет.
Конечно, сойдёт, ведь "красивость" разная бывает. Но я имел в виду то, что корни этого уравнения для некоторых (бесконечно многих)
оказываются в подходящих круговых полях. В частности, некоторые Ваши бесконечные радикалы можно в конечном виде выразить через косинусы углов, соизмеримых с
(один пример такого выражения я нашёл в
сообщении #93018, возможно, были здесь и другие). Раньше мне казалось, что такие примеры носят штучный характер, а теперь выясняется, что как раз наоборот.
Достаточно взять
. При таких
многочлен 8-й степени разложится в произведение одного квадратного и двух кубических многочленов (все неприводимы над
при
). И у кубических дискриминанты окажутся точными квадратами. Это означает, что соответствующие кубические поля будут нормальными расширениями
с абелевой (циклическая группа 3-го порядка) группой Галуа. Но тогда они являются подполями некоторого кругового поля (теорема Кронекера-Вебера).
20.03.2012, 04:37 
уравнение 
имеет корни 
, где 
.
Чувствую, что должны возникать суммы вида
в дискриминанте может оказаться много. Можно попроверять на конкретных примерах. Но если разлагать кубический многочлен над большими круговыми полями, то это не будет быстро (так я вчера искал правильный ответ при 
, где одно из 
). Возможно, имеет смысл посмотреть доказательство самой теоремы Кронекера, оно вроде бы конструктивно.
: 
, вас тоже не покинет удача, правда радикал будет несколько другим:
.
