Тройной интеграл

[nastya2011]

Здравствуйте! помогите мне с решением одной задачки, сама по себе задача бесполезная, но нужна, чтобы "прочувствовать" суть, дана область $ x^2+y^2 \leqslant 2ax , x^2+y^2 \leqslant a^2-az , z\geqslant 0 } $ нужно поменять порядки интегрирования по этой области в интеграле $ \int \int \int f(x,y,z) dxdydz$ в координатах $dr, d\varphi, d\theta $, ну то есть в сферических. Семинарист сказал, что если правильно поменять, то получится 25-30 интегралов, так как область интегрирования сложная. Подскажите как так получится? очень надо(((
область если заменить на сферические координаты примет форму:
$r cos\theta \leqslant 2acos\varphi , r^2 (cos\theta)^2 \leqslant a^2-arsin\theta , rsin\theta \geqslant 0 $ как получается 25-30 интегралов?????

[nastya2011]

Ребяяяят, не молчите(

[svv]

Представьте, что у Вас есть куб (простейшая фигура!), его ребра параллельны осям координат. И надо проинтегрировать по объему функцию $f(x, y, z)$. Вы в каких координатах будете это делать? Правильно, в декартовых. Потому что пределы интегрирования по $x, y, z$ будут выглядеть очень просто, вроде такого:

$$\int\limits_{z_{min}}^{z_{max}}\int\limits_{y_{min}}^{y_{max}}\int\limits_{x_{min}}^{x_{max}}$$

А представьте, что интеграл по кубу надо взять в сферических координатах. Допустим, внешний интеграл по $r$, средний по $\theta$, внутренний по $\varphi$.
Механика интегрирования такова, что пределы по $r$, коль интеграл внешний, не должны ни от чего зависеть (абсолютный минимум $r$ и абсолютный максимум $r$).

Пределы по $\theta$ уже могут зависеть от $r$ (и в данном случае будут зависеть обязательно), то есть они берутся для конкретного $r$. Что это значит геометрически? Мы пересекаем куб сферой радиуса $r$ и смотрим, каковы минимальное и максимальное значение для данного $r$. Прикиньте сложность этой задачи. Да для разных $r$ Вы будете даже на различные грани куба попадать, то есть у Вас единой формулы точно не будет.

Наконец, пределы по $\varphi$ уже могут зависеть (а в данном случае точно будут зависеть) и от $r$, и от $\theta$. Геометрически: мы выбрали сферу радиуса $r$, выбрали конус с углом раствора $\theta$. В пересечении будет некоторая окружность (попробуйте представить), и часть её (или вся) попадает внутрь куба, и надо найти минимальную и максимальную координату $\varphi$ тех точек на этой окружности, которые принадлежат кубу.

Вроде бы задача не выходит за рамки тригонометрии, но мороки очень много. И одна из причин: так как сферические координаты плохо соответствуют форме куба, мы для пределов их изменения даже не получаем единой формулы, так как попадаем на различные грани куба. А в декартовом-то случае пределы вообще были константами!

Обычно, наоборот, задача ставится так, что нужно выбрать наилучшую систему координат для интегрирования. И это обеспечивает кардинальное упрощение. Если надо интегрировать по шару, то надо брать сферические координаты. А тот факт, что при этом усложняется элемент объема ($r^2\sin\theta$ вместо 1) -- это фигня по сравнению с тем, как усложнились бы пределы в неподходящей системе координат.

А в такой постановке, как у Вас, это похоже на издевательство.