нули голоморфной функции

[letto]

Функция $f: D\to \Bbb C$, не являющаяся константой, голоморфна в $Int D$, где $D=\{\,z \in \Bbb C \mid |z|\le 1\,\}$ , непрерывна в этом диске и $|f(z)|=1$ для всех $z \in \partial D$. Докажите, что $f$ имеет ноль в $Int D$.
Почему-то мне кажется, что здесь нужно применить принцип максимума. К сожалению, это единственное, что приходит мне в голову.

[nnosipov]

letto в сообщении #549790 писал(а):

Почему-то мне кажется, что здесь нужно применить принцип максимума.

Почему бы и нет. Предположите, что нулей нет, и рассмотрите функцию $1/f$.

[letto]

Если честно, я долго думал, но не понял идею...

[Dan B-Yallay]

letto в сообщении #549812 писал(а):

Если честно, я долго думал, но не понял идею...

Сформулируйте принцип махимума

[letto]

Если функция голоморфна в области $D$ и $a \in D$, если $|f(z)|\le |f(a)|$, $z \in U(a)$, тогда $f=const$

[Dan B-Yallay]

теперь примените этот принцип одновременно к $f$ и $1/f$ (в предположении, что $f$ не имеет нулей в $D$)

[letto]

Извините, я не совсем понимаю, как воспользоваться тем, что нет нулей в $D$...

[Dan B-Yallay]

letto в сообщении #549833 писал(а):

Извините, я не совсем понимаю, как воспользоваться тем, что нет нулей в $D$...

Если $f$ - голоморфная и не имеет нулей в $D$, то $1/f$ тоже голоморфна.

[letto]

это я понимаю. и что с этим делать?

[Dan B-Yallay]

Грубо говоря, перефразируем принцип: максимум модуля голоморфной функции достигается на границе, а не внутри области. Если $f$ не имеет нулей, то $1/f$ достигает максимума внутри $D$, при этом оставаясь голоморфной. Противоречие.

-- Вс мар 18, 2012 13:29:15 --

Естественно, к написанному выше надо относиться как к идее, а не строгому доказательству. Последнее - за Вами.

[letto]

Само собой я доделаю сам. Спасибо большое, что помогли разобраться!