Легкое неравенство с мат.ожиданиями

[loldop]

Пусть
$X \;-\; $ сл.в.

Нужно доказать:
$\mathbb{E}|X-E|X||^3\leq 4(\mathbb{E}|X|^3 + (\mathbb{E}|X|)^3)$


$\mathbb{E}|X-E|X||^3\leq \mathbb{E}|X+\mathbb{E}|X||^3 \leq \mathbb{E}|X|^3 + 3 \mathbb{E}X^2\mathbb{E}|X| + \\ + 3 \mathbb{E}|X|(\mathbb{E}|X|)^2 + (\mathbb{E}X)^3 \leq 4 (\mathbb{E}|X|^3 + (\mathbb{E}|X|)^3)$

Необходимо доказать:
$\mathbb{E}|X|^3 \geq \mathbb{E}X^2 \cdot \mathbb{E}|X|$

Как быть с неравенством, которое связывает 3й и 2й моменты?
Подскажите, пожалуйста, идею.

Верно ли такое неравенство:
$\phi(g(|x|))\geq \phi(g'(|x|))\phi(|x|)$, где
$\phi \;-\; $ линейна,
$g \;-\; $ возрастает.

[Хорхе]

В силу Йенсена $|a+b|^3\le 4(|a|^3+|b|^3)$, больше тут ничего не надо.

[--mS--]

Но если непременно хотите неравенство с первым, вторым и третьим моментами, то в силу того же Йенсена, для $X\geqslant 0$ п.н. (к чему модули таскать?) $(\mathsf EX^k)^{1/k}$ не убывает по $k>1$. Поэтому

$$\mathsf EX \leqslant (\mathsf EX^3)^{1/3}, \quad \mathsf EX^2 \leqslant (\mathsf E(X^2)^{3/2})^{2/3}=(\mathsf EX^3)^{2/3},$$

осталось перемножить:

$$\mathsf EX\cdot \mathsf EX^2 \leqslant (\mathsf EX^3)^{1/3}\cdot (\mathsf EX^3)^{2/3}=\mathsf EX^3.$$