Поворот системы координат

[Roy Rogers]

Здравствуйте!
Понадобилось поработать с поворотом координат и запутался в трех соснах. Всё забыл, наверное. Вот обычная картинка:

$$\begin{xy} /r1cm/:, (0,0)*+!UR{O}, (0,0);(4,0)**@{-}*@{>}*++!UR{x}, (0,0);(3.5,1)**@{-}*@{>}*++!UR{x'}, (0,0);(0,3)**@{-}*@{>}*++!RU{y}, (0,0);(-1,2.7)**@{-}*@{>}*++!RU{y'}, (1,1)*{\bullet}*+!DR{x_0, y_0}**@{ }; \end{xy}$$

Нужно найти координаты точки $(x_0, y_0)$. Для этого используют матрицу поворота. Берем ее отсюда:

$$ \left( \begin{array}{c} y' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} y \\ x \end{array} \right)$$

В результате получается

$$x' = x \cos \varphi - y \sin \varphi,$$

$$y' = x \sin \varphi + y \cos \varphi.$$

Я правильно понимаю, что если я подставлю координаты точки $(x_0,y_0)$, то я получу $(x_0',y_0')$? То есть я беру $(1, 1)$ (примерно как на картинке) при повороте на $\pi/3$ и получаю, что $y_0' \approx 1.36$. А он должен быть явно короче, чем $y_0$. У меня получилось, что поворот, который удовлетворяет моей картинке описывается (для $y'$):

$$y' = - x \sin \varphi + y \cos \varphi$$

В чем тут глупость?

Спасибо.

[svv]

Сначала небольшое замечание. Обычно декартовы компоненты перечисляются в порядке $x, y$, а здесь наоборот:

$$ \left( \begin{array}{c} y' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} y \\ x \end{array} \right)$$

Но поскольку дальше у Вас идут формулы

$$x' = x \cos \varphi - y \sin \varphi\; ,$$

$$y' = x \sin \varphi + y \cos \varphi\; ,$$

которые получились бы при правильном порядке $(x, y)$, буду считать, что это просто описка.

Теперь основной ответ. (Я надеюсь, что он прояснит дело и всё поставит на место )
Преобразования бывают активные и пассивные.
Активное преобразование: берется точка и под действием преобразования переходит (ну буквально сдвигается) в другую точку. Закон преобразования показывает, в какую точку $(x',y')$ перейдет данная точка $(x, y)$. Или то же самое для векторов (точка=конец вектора).
Пассивное преобразование: точка остаётся на месте, но меняется система координат. И в новых координатах компоненты будут уже иными. Закон преобразования показывает, какие новые координаты $(x',y')$ будет иметь точка, если старые были $(x, y)$ (то же самое на языке векторов).

Так вот, в Википедии Вам дали матрицу активного преобразования координат, а Вам нужно пассивное. Оно имеет вид:

$$ \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$$

[ИСН]

Это один возможный подход. Другой вот:
"Нормальные люди всю эту хрень не помнят. Сделай от балды. Если не подойдёт, поменяй плюс на минус и попробуй так."

[svv]

А самые хитрые (как я) ни фига не помнят, но когда надо ответить, синтезируют такой текст, как будто и ночью помнят.

[Roy Rogers]

ИСН, я так и сделал:) просто стало интересно как правильно...

svv
Спасибо. Не думал, что все так запутанно.

[Алексей К.]

Я однажды выучил умножение комплексных чисел, особенно $(x+iy)\cdot e^{i\varphi}$, и перестал в этом путаться.