Исследовать на сходимость интеграл.

[keksman]

Всем привет!
Друзья, нужна ваша помощь. Нужно исследовать на сходимость интеграл.
Теорию я понимаю. Как это делать тоже.
Но вот этот не получается. Для доказательства я использую теоремы сравнения.

Вот сам пример:
$\int_{-1}^{2}{\left( x^{2}-1 \right)\ln ^{2}\left( 2-x \right)dx}$

Точка разрыва в x=2
Для доказательства сходимости я пытался использовать следующую теорему:


но не смог придумать какую-бы функцию взять в качестве фи(х)

Спасибо!

[ewert]

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2-x}}$

[keksman]

ewert спасибо!
Только вот сходу я не смог придумать как бы вычислить такой предел:
$l\mbox{im}\left( \sqrt{2-x}\cdot \left( x^{2}+1 \right)\cdot \ln ^{2}\left( 2-x \right) \right)$

Вольфрам дал ответ 0.
Но ведь 0 не годится нам по теореме! Если предел равен 0, то нельзя судить о схожем поведении интегралов.

Какую еще функцию можно рассмотреть?

[ewert]

keksman в сообщении #549696 писал(а):

Но ведь 0 не годится нам по теореме!

Используйте более грубую теорему. И такие пределы положено считать безо всяких вольфрамов.

[keksman]

В смысле более грубую?

вот эту:



Но ведь наша подынтегральная функция не больше нуля.

[bot]

Разве? Особенность здесь, кстати, в какой точке?

[keksman]

В точке $x=2$

[bot]

Ну и кто победит в окрестности этой точки - интегранд или эталонная функция? На знак интегранда можно наплевать (потому что исследуется естественно абсолютная сходимость), но нет необходимости, так как он и без того положительный.

[keksman]

То есть по теореме 40.3 (моя вторая картинка) и сходимости интеграла $\int_{-1}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{2-x}}}$ мы делаем вывод о том, что и данный нам в задаче интеграл сходится.

только вот если честно я не очень понял вот этого:

Цитата:

Ну и кто победит в окрестности этой точки - интегранд или эталонная функция?

В смысле "победит"?

[bot]

Ну вот сами и ответили - эталонная функция оказалась выше интегранда, она и победила. Поскольку интеграл от неё сходится, то по теореме сходится и интеграл от побеждённой функции.

[keksman]

bot, спасибо большое.

А можешь еще разъяснить, почему же по теореме требуется не отрицательность интегранда? Может я что-то не так понимаю..

Еще раз большое спасибо!

[ewert]

keksman в сообщении #551188 писал(а):

А можешь еще разъяснить, почему же по теореме требуется не отрицательность интегранда?

Потому, что признаки сравнения в принципе относятся только к знакоположительному случаю. И, кстати, фамильярность они тоже не приветствуют.

[keksman]

Но если они относятся только к знакоположительным случаям, то как же доказать состоятельность вашего доказательства?
Ведь все-таки сослаться на такую теорему нельзя...

[ewert]

keksman в сообщении #551194 писал(а):

Но если они относятся только к знакоположительным случаям, то как же доказать состоятельность вашего доказательства?

bot в сообщении #551181 писал(а):

он и без того положительный.

И вообще уметь читать -- полезно.

[keksman]

ewert и bot!
Спасибо вам большое!