Задача по теории вероятностей

[Whitaker]

Добрый день, дорогие друзья!
Помогите пожалуйста решить такую задачку:
События $A_1, A_2, \cdots, A_n$ независимы в совокупности тогда и только тогда, когда $P\{A_1^{\varepsilon_1}A_2^{\varepsilon_2}\cdots A_n^{\varepsilon_n}\}=P\{A_1^{\varepsilon_1}\}P\{A_2^{\varepsilon_2}\}\cdots P\{A_n^{\varepsilon_n}\}$, где $\varepsilon_i \in \{0, 1\}$ и $A^1_i=A_i, A^0_i=\overline{A_i}$
Необходимость я смог доказать.
Вот моя попытка доказательства достаточности утверждения.
Возьмем последовательность $(i_1, i_2, \cdots, i_m)$, такая что: $1\leq i_1<i_2<\cdots<i_m\leq n$ и для $j\in \{1, 2, \cdots, n\}-\{i_1, i_2, \cdots, i_m\}$ положим, что $A_j=\Omega$
Тогда получаем, что:
$A_1A_2\cdots A_n=A_{i_1}\cdots A_{i_m}$ и отсюда сразу следует что:
$P\{A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_m}\}=P\{A_{i_1}\}P\{A_{i_2}\}\cdots P\{A_{i_m}\}$ так как $P\{\Omega\}=1$
Скажите пожалуйста правильно ли я решил?

С уважением, Whitaker.

[ewert]

Whitaker в сообщении #549644 писал(а):

для $j\in \{1, 2, \cdots, n\}-\{i_1, i_2, \cdots, i_m\}$ положим, что $A_j=\Omega$

Этой конструкции я не понял.

Всё проще -- по индукции. Предположим, что утверждение верно для любых $(n-1)$ событий и рассмотрим какие-либо $n$ событий. Тогда для этих событий

$P\big(A_1(A_2^{\varepsilon_2}\cdots A_n^{\varepsilon_n})\big)=P(A_1)\cdot P(A_2^{\varepsilon_2})\cdots P(A_n^{\varepsilon_n}),$
$P\big(\overline A_1(A_2^{\varepsilon_2}\cdots A_n^{\varepsilon_n})\big)=P(\overline A_1)\cdot P(A_2^{\varepsilon_2})\cdots P(A_n^{\varepsilon_n}).$

После сложения этих двух равенств первое событие сократится и останется аналогичное равенство для всех событий, кроме первого. По индукционному предположению отсюда следует независимость в совокупности всех событий, кроме первого. А поскольку в роли первого с тем же успехом могло бы выступать любое, то (и т.д.).

[Whitaker]

ewert в сообщении #549662 писал(а):

Whitaker в сообщении #549644 писал(а):

для $j\in \{1, 2, \cdots, n\}-\{i_1, i_2, \cdots, i_m\}$ положим, что $A_j=\Omega$

Этой конструкции я не понял.

Берем последовательность $(i_1, i_2,\cdots, i_m)$ такую, что $1\leq i_1<i_2<\cdots<i_m\leq n$. Значит остались какие-то числа $j_k$(если $m<n$), такие, что: $j_k\in \{1,2, \cdots, n\}$ и $j_k\neq i_r$, $1\leq r \leq m$. Для этих $j_k$ пологаем, что $A_{j_k}=\Omega$.

[ewert]

Whitaker в сообщении #549668 писал(а):

Для этих $j_k$ пологаем, что $A_{j_k}=\Omega$.

На каком основании полагаем-то?...

Надо делать так, как я -- складывать потихоньку равенства, отличающиеся только по одному элементу. Другое дело, что это можно по-разному оформлять. Можно, скажем, наоборот, представлять пространство событий как сумму противоположных и раскрывать скобки. Однако в любом случае дешевле всего использовать индукцию по количеству событий.

[Whitaker]

ewert
я не совсем понял ход Ваших рассуждений.
Вы доказываете достаточность по индукции.
База индукции: $n=2;$ Дано, что $P\{A^{\varepsilon_1}_1A^{\varepsilon_2}_2\}=P\{A^{\varepsilon_1}_1\}P\{A^{\varepsilon_2}_2\}$. Отсюда Вы выводите, что события $A_1, A_2$ независимы в совокупности и т.д.
Я Вас правильно понял?

[ewert]

Whitaker в сообщении #549685 писал(а):

Я Вас правильно понял?

Да. Для двух событий просто независимость и независимость в совокупности -- это одно и то же.