Последовательность коэффициентов

[Nikys]

Предлагаю такую задачку.
Пусть задана такая последовательность положительных действительных чисел $(a_n)_{n=0}^{\infty}$, что $a_0=a_1=1$ и $\forall n \in \mathbb{N}$ многочлен $P_n(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ имеет n попарно различных действительных корней. Докажите, что $\forall m \in \mathbb{N}$ исполняется следующее неравенство:
$\frac{a_1}{a_0}+\frac{a_2}{a_1}+\cdots+\frac{a_{m+1}}{a_m}<\frac{3}{2}$

[mihiv]

Если многочлен степени $n$ имеет $n$ различных действительных корней,то из теоремы Ролля следует,что каждая из его производных с 1-ой по $(n-1)$-ую имеет только действительные и различные корни.

$(m-1)$ раз продифференцируем многочлен $P_{m+1}(x)$ получим многочлен 2-ой степени:

$$\frac {(m+1)!}2a_{m+1}x^2+m!a_mx+(m-1)!a_{m-1}$$

,его корни действительны и поэтому дискриминант >0.Отсюда получаем неравенство

$$\dfrac {a_{m+1}}{a_m}<\dfrac m{2(m+1)}\dfrac {a_m}{a_{m-1}}\qquad (1)$$

Применяя неравенство (1) повторно получим:

$$\dfrac {a_{m+1}}{a_m}<\dfrac 1{2^m}\dfrac m{m+1}\cdot \dfrac {m-1}m\dots \dfrac12\dfrac {a_1}{a_0}=\dfrac 1{2^m(m+1)}$$

Тогда

$$\frac {a_1}{a_0}+\frac {a_2}{a_1}+\dots +\frac {a_{m+1}}{a_m}<1+\frac 1{2^1\cdot 2}+\dots +\frac 1{2^m\cdot (m+1)}<\frac32$$