Продолжение решений ур-я Гельмгольца.

[SergV]

Здраствуйте. При чтении опр. л-ры встретилось в тексте упоминание о некой теореме Соболева (возможно, С. Л. упомянут случайно) для уравнения Г., говорящей о естественном продолжении частных решений с подобластей на всю область. Т. е., например, если у двух решений (двумерный и трехмерный случай) на границе, скажем, хороших двух областей нет разрывов "нулевой" и нормальной производных, то их естественное продолжение удовлетворяет уравнению и в объединении областей. Понятно, что это утверждение можно рассматривать и как критерий.

Вопрос: где, в какой литературе, можно найти строгое описание (доказательство) такого рода теоремы, не ограничиваясь, в принципе, оператором Гельмгольца? Наперед дякую.

[Vince Diesel]

В ТФКП это называется принцип симметрии Шварца. Конкретно относительно уравнений Гельмгольца не встречал, а для эллиптических операторов $L$ с гладкими коэффициентами это несложно должно доказываться. Типа обозначим через $u$ объединенное решение в объединенной области $Q$, возьмем пробную функцию $\varphi$, $\mathrm{supp\m\,}\varphi \subset Q$ и найдем $(u,L^*\varphi)$, где $L ^*$ - сопряженный к $L$ оператор. Т.е. проинтегрируем $u L^*\varphi $ по $Q$. Два раза по частям даст $(u,L^*\varphi)=(Lu,\varphi)=0$. Внеинтегральные члены сократятся. Как раз потому, что $u$ и ее нормальная производная (и вообще градиент) непрерывны при переходе через общую границу. Таким образом, $u$ является обощенным решением уравнения $Lu=0$ в $Q$, а, следовательно, и классическим.

[SergV]

Vince Diesel в сообщении #549302 писал(а):

В ТФКП это называется

Шо, опять? ©

Vince Diesel в сообщении #549302 писал(а):

принцип симметрии Шварца

Спасибо. Вы, наверное, имеете в виду просто принцип Шварца?

Vince Diesel в сообщении #549302 писал(а):

Конкретно относительно уравнений Гельмгольца не встречал, а для эллиптических операторов $L$ с гладкими коэффициентами это несложно должно доказываться.

А можете подсказать книжку, у меня не получилось найти ничего.


Но нашлись рассуждения, обходящиеся обычным анализом (формулами Грина для ур-я Г., они описаны в учебнике СБК). Достаточно показать, что продолжение $u$ "внутри" некоторой поверхности $S$ удовлетворяет интегральному тождеству Грина ( $G$ - фундаментальное решение):

$$u\equiv\frac{1}{4\pi}\left\{\int\limits_S\frac{\partial{u}}{\partial{n}}GdS + \int\limits_Su\frac{\partial{G}}{\partial{n}}dS\right\}.$$

Тогда, в силу свойств потенциалов ($S$ можно считать и кусочно-гладкой), правая функция во внутренних точках $S$ удовлетворяет ур-ю Г., и этого можно будет ожидать и от левой.
Чтобы это показать, нужно рассмотреть эквивалентное (в силу аддитивности и изменения знака нормали) утверждение:

$$u\equiv\frac{1}{4\pi}\left\{\int\limits_{S_1}\frac{\partial{u_1}}{\partial{n_1}}GdS_1 + \int\limits_{S_1}u_1\frac{\partial{G}}{\partial{n_1}}dS_1\right\} + \frac{1}{4\pi}\left\{\int\limits_{S_2}\frac{\partial{u_2}}{\partial{n_2}}GdS_2 + \int\limits_{S_2}u_2\frac{\partial{G}}{\partial{n_2}}dS_2\right\}.$$

Если предположить, что поверхности $S_i$ достаточно гладкие, чтобы можно было воспользоваться третьей формулой Грина:

$$\int\limits_{S_i}u_i\frac{\partial{G}}{\partial{n_i}}dS_i=\begin{cases} 4{\pi}u_i(x),&\text{$x\in{D_i}$;}\\ 2{\pi}u_i(x),&\text{$x\in{S_i}=\partial{D_i}$;}\\ 0,&\text{$x\notin\overline{D_i}$,} \end{cases}$$

утверждение становится очевидным. Но если с пальцами все понятно, то с строгой формулировкой нужно помучаться в условиях на третью формулу Грина (условия на поверхность и на функциональное пространство). И естественный вопрос: как могут быть связаны тот сайт, Соболев и советская журнальная беллетристика?

[Vince Diesel]

Не знаю ссылки.

Чтобы с нормалью все было хорошо, естественно потребовать границу из класса $C^1$. А тогда уж, чтобы имело смысл говорить о решении во всей области (которое должно быть аналитично), надо потребовать, чтобы значения на границе были из $C^1$, а нормальная производная непрерывна в некоторой окрестности границы. Т.е. взять решения из $C^1$ в замыкании каждой области. А в этом случае проблем с формулой Грина не должно быть.