доказать, что особенность в нуле устранима

[podsekalnikov]

У нас есть функция $f$, голоморфная в проколотом диске $D=\{\,z\mid 0<|z|<1\,\}$, причем $\operatorname{Re} f(z)<0$ для всех $z$. Нужно доказать, что особенность $f$ в нуле устранима.

Раз функция голоморфна, значит она аналитична и ее можно разложить в ряд Лорана в области $D$.
Тогда нужно как-то доказать, что если $\operatorname{Re} f(z)<0$ для всех $z$, то главная часть в разложении отсутствует. я правильно понимаю?

[ewert]

Экспонента от такой функции ограниченна сама по себе. Значит, она имеет в нуле какой-то предел, притом ненулевой. Значит, и сама функция как логарифм от экспоненты тоже имеет предел.