Преобразование столбца в матрицу с другими размерами

[Mathemt]

Дана матрица-столбец $X$ с $N$ строками:

$\mathbf{X} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_N \end{array} \right)$

Указать способ преобразования этой матрицы в следующую матрицу размерами $[N-m+1,m]$:

$\mathbf{Y} = \left( \begin{array}{cccc} x_1 & x_2 & \ldots & x_m \\ x_2 & x_3 & \ldots & x_{m+1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{N-m+1} & x_{N-m} & \ldots & x_N \end{array} \right)$

или в траспонированную ей. Строки новой матрицы - это "бегущее окно" длины $m$ внутри исходной матрицы-столбца. Допустимые операции над исходной матрицей - умножение на число, умножение на другие матрицы (и слева, и справа) и ничего более. Если одним умножением не обойтись, то можно добавить и сложение. Очевидно, что соответствие между матрицами взаимно однозначно при фиксированных $N$ и $m$ - так что можно рассчитывать на что-нибудь линейное.

[worm2]

$\mathbf{Y} = \sum\limits_{i=1}^m\mathbf{A}_i \mathbf{X} \mathbf{B}_i$, где

$$\mathbf{A}_i = \left( \begin{array}{cccccccccc} 0 & \ldots & 1 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ 0 & \ldots & 0 & 1 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & 0\\ 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 1 & \ldots & 0 \end{array} \right)$$

(единицы начинаются с i-го столбца, размерность матрицы N-m+1 x N),

$\mathbf{B}_i = (0, \ldots, 1, \ldots, 0)$ (единица стоит на i-м месте, размерность матрицы 1 x m).
Одними умножениями обойтись не удастся, ибо ранг X, вообще говоря, равен 1, ранг Y --- вообще говоря, max{N-m+1, m}, а при умножении ранг не может возрастать.