Независимость событий [Теория вероятностей]

[Whitaker]

Здравствуйте уважаемые друзья!
Помогите пожалуйста разобраться с одним утверждением.
Пусть события $A_1, A_2, \cdots, A_n$ независимы в совокупности. Тогда события $\overline{A_1}, \overline{A_1}, \cdots, \overline{A_n}$ - также независимы в совокупности.
Т.е. нужно показать, что $P\{\bar{A_{i_1}} \bar{A_{i_2}} \cdots\bar{A_{i_k}}\}=P\{\overline{A_{i_1}}\}P\{\overline{A_{i_2}}\}\cdots P\{\overline{A_{i_k}}\}$
Для случая $k=2$ и $k=3$ у меня получилось.
Пытаюсь делать через индукцию но не получается.
Помогите пожалуйста.

С уважением, Whitaker.

[svv]

По индукции, только немножко не так.
Пусть события $A_1, A_2, A_3, ..., A_n$ н.в с.
Попробуйте доказать последовательно следующие утверждения:
События $\overline{A_1}, A_2, A_3, ..., A_n$ н.в с.
События $\overline{A_1}, \overline{A_2}, A_3, ..., A_n$ н.в с.
События $\overline{A_1}, \overline{A_2}, \overline{A_3} , ..., A_n$ н.в с.
...
События $\overline{A_1}, \overline{A_2}, \overline{A_3} , ..., \overline{A_n}$ н.в с.

[ewert]

Достаточно доказать независимость в совокупности $\overline{A_1}, A_2, A_3, ..., A_n$ -- в силу произвольности нумерации это будет означать и независимость в совокупности при любой расстановке чёрточек. А для одной чёрточки независимость в совокупности сводится к просто независимости $\overline{A_1}$ и $A_2$.

[Whitaker]

спасибо svv! Попробую так сделать

-- Чт мар 15, 2012 19:40:55 --

svv
Я показал, что $\overline{A_1}, A_2, \cdots, A_n$ н. в с.
Но не могу показать, что $\overline{A_1}, \overline{A_2}, A_3, \cdots, A_n$ н. в с.
Чем нужно воспользоваться?

[svv]

Обозначьте $B_1=A_2, B_2=\overline{A_1}, B_3=A_3, ..., B_n=A_n$.
Вы показали, что из н.в с. событий $B_1,B_2,B_3,...,B_n$ следует н.в с. событий $\overline{B_1},B_2,B_3,...,B_n$.
В терминах $A_i$ это означает, что из н.в с. событий $A_2,\overline{A_1},A_3,...,A_n$ следует н.в.с. событий $\overline{A_2},\overline{A_1},A_3,...,A_n$.

[Whitaker]

Большое Вам спасибо svv и ewert за подсказки!