Интегральное уравнение в $L_2$

[ezhik]

При каких условиях на функцию $ y \in L_2[0, \pi]$ и комплексный параметр $ \lambda $ уравнение $x(t) + \lambda \int_0^{\pi} \sin(t-s)x(s)ds=y(t)$ имеет единственное решение в пространстве $L_2[o, \pi]$.

[ezhik]

Найти все $\beta$ вещественные, для каждого из которых уравнение $x(t)+\int_0^1(1+\alpha ts)x(s)ds = \beta + t^2 $ разрешимо в $L_2[0, 1]$ при любом вещественном $ \alpha $.

[zhoraster]

Темы объединены.

Приведите свои соображения по задачам.

[ewert]

ezhik в сообщении #548515 писал(а):

При каких условиях на функцию $ y \in L_2[0, \pi]$ и параметр $ \lambda $ комплексный уравнение $x(t) + \lambda \int_0^{\pi} sin(t-s)x(s)ds=y(t)$ имеет единственное решение в пространстве $L_2[o, \pi]$.

Ни при каких. В том смысле, что формулировка не годится. Если лямбда на спектре сопряжённого однородного уравнения, то игрек должен быть ортогональным его решению в общем, см. альтернативу Фредгольма. А если не на спектре, то игрек любой. (Пара характеристических чисел и соотв. решений легко ищется.)

-- Чт мар 15, 2012 12:57:39 --

ezhik в сообщении #548516 писал(а):

Найти все $\beta$ вещественные, для каждого из которых уравнение $x(t)+\int_0^1(1+\alpha ts)x(s)ds = \beta + t^2 $ разрешимо в $L_2[0, 1]$ при любом вещественном $ \alpha $.

Просто поищите решение -- оно в любом случае будет иметь вид $x(t)=u+vt+t^2$ с неизвестными параметрами $u,v$.

[zhoraster]

ewert, во-первых, например, при $\lambda=0$ уравнение, очевидно, имеет единственное решение. Во-вторых, я попросил ezhikа привести свои соображения. Давайте подождем, что он может сам сказать.

[ewert]

zhoraster в сообщении #548529 писал(а):

например, при $\lambda=0$ уравнение, очевидно, имеет единственное решение.

я разве это отрицал?

[zhoraster]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #548530 писал(а):

zhoraster в сообщении #548529 писал(а):

например, при $\lambda=0$ уравнение, очевидно, имеет единственное решение.

я разве это отрицал?

Вместо "$y$ любой" прочитал "$x$ любой".

[ezhik]

Все оказалось просто. Нужно воспользоваться теоремой Фредгольма: ур-ние $Ax=y$ имеет решения для $y$ <=> для любого решения $f$ ур-ния $A'f=0 f(y)=0$. Если кому интересно, то могу расписать.

-- 22.03.2012, 06:17 --

Цитата:

Просто поищите решение -- оно в любом случае будет иметь вид $x(t)=u+vt+t^2$ с неизвестными параметрами $u,v$.

Эта задача, кстати, тоже решается через первую теорему, которую я уже написал. Тоже, если кому надо полное решение могу написать.