Вычислить интеграл

[SpBTimes]

$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-at^2 - \frac{b}{t^2}}dt$, где $a, b > 0$
Через дифференцирование по параметру получается что-то жуткое и малоприятное. Может он как-то без таких ухищрений может быть вычислен?

[ИСН]

Там не так надо. Щас.

[hippie]

Не знаю точно, возможно это поможет.
$\int\limits_0^{\infty} e^{-at^2 - \frac b{t^2}}\, dt = \int\limits_0^{\infty} e^{-at^2 - \frac b{t^2}+2\sqrt{ab}-2\sqrt{ab}}\, dt = e^{-2\sqrt{ab}} \int\limits_0^{\infty} e^{-(\sqrt at - \frac {\sqrt b}t)^2}\, dt.$
Обозначив $c=\sqrt{ab}$ и сделав замену $x=\sqrt at,$ получим $\int\limits_0^{\infty} e^{-at^2 - \frac b{t^2}}\, dt = \frac {e^{-2\sqrt{ab}}}{\sqrt a} \int\limits_0^{\infty} e^{-(\sqrt x - \frac cx)^2}\, dx.$

Остаётся доказать, что при любом $c>0,$
$\int\limits_0^{\infty} e^{-(x - \frac cx)^2}\, dx = \frac {\sqrt\pi}2.$

[ИСН]

Короче, я это описывал уже 2 - 3 раза, но найти не получается, так что будет ещё один. Сначала заменой $x={1\over t}$ свести этот интеграл к такому же, но с довеском в виде $1\over t^2$. Потом сложить тот с исходным. Потом сделать замену $x=t-{1\over t}$.

[SpBTimes]

ИСН
Спасибо, успел догадаться!