Равноускоренное движение в СТО.

[m@x]

Подскажите, правильно ли я понимаю: при релятивистском равноускоренном движении относительно "неподвижной" инерциальной системы отсчета постоянным остается лишь 3-мерный вектор ускорения частицы $\[\omega \]$, а 4-ускорение $\[a\]$ постоянно по величине, но меняется по направлению, то есть уравнение

$\[a = \frac{{du}}{{ds}}\]$

нельзя решить в виде

$\[u = as\]$

или

$\[{a^2}{s^2} = 1\]$,

так как $\[a = a(s),{\rm{ }}|a| = \[\omega \]\]$ ?

[Someone]

Как-то не так это. Или я плохо понимаю, что Вы имеете в виду. При релятивистски равноускоренном движении ускорение остаётся постоянным в мгновенно сопутствующей ИСО. То есть, в той ИСО, в которой в данный момент тело покоится. А в "неподвижной" ИСО (трёхмерное) ускорение не постоянно. Но 4-ускорение действительно имеет постоянную длину. Посмотрите Ландау и Лифшица, "Теория поля", упражнение к § 7.

4

[Munin]

m@x в сообщении #548304 писал(а):

постоянным остается лишь 3-мерный вектор ускорения частицы $\[\omega \]$

Нет, он меняется.

Дифференциальное уравнение решается совместно с условиями $a_\mu u^\mu=0$ и $a_\mu a^\mu=\mathrm{const}.$ (Если вы рассматриваете четырёхмерную задачу, а не двумерную, то ещё надо добавить $a^2=a^3=0.$) Тогда для каждой возможной скорости $u$ однозначно восстанавливается вектор $a,$ дальше техническая возня.

[m@x]

Понятно, спасибо.

[Quant]

Здравствуйте!
Подскажите пожалуйста, как получилась формула в Ландау Лифшице, том 2, стр.42
$\frac{d}{dt}\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=w$ ?

[Munin]

У меня эта формула получилась, но не "раскрытием выражения $w^iw_i$", как там написано, а иначе.
Берём 4-ускорение в мгновенно сопутствующей системе отсчёта $(0,w,0,0),$ (пользуюсь системой единиц $c=1$) и преобразуем обратно по Лоренцу в неподвижную систему отсчёта. Получаем
$w^i=(wv\gamma,w\gamma,0,0),\qquad(*)$
где $\gamma=1\big/\sqrt{1-v^2}$ - общепринятое сокращение для уменьшения писанины. Теперь, с другой стороны, имеем по определению (с учётом $ds=dt/\gamma$ для дифференцирования вдоль мировой линии):
$w^i=\dfrac{du^i}{ds}=\gamma\dfrac{du^i}{dt},$
а так как 4-скорость имеет компоненты $u^i=(\gamma,v\gamma,0,0),$ то получаем
$w^i=\left(\gamma\dfrac{d\gamma}{dt},\gamma\dfrac{d}{dt}(v\gamma),0,0\right).$
Это мы можем покомпонентно приравнять к (*) (которое, собственно, выражает равенство $w^iw_i=-w^2,$ но уже преобразованное), и из равенства компонент номер 1, получить
$\dfrac{d}{dt}(v\gamma)=w,$
что нам и было нужно.

[Quant]

Munin,
спасибо, разобрался.