Эндоморфизмы алгебры

[Профессор Снэйп]

В принципе, я согласен с тем, что тут можно всё осилить вручную. Про программу, убивающую задачу тупым перебором, написал лишь потому, что люблю программировать. Хотя и плохо владею современными программными средствами. Но программировать люблю

Давайте посчитаем. Достаточно назначить образы отображения для порождающих $1$, $2$ и $3$, а затем проверить, сохраняется ли операция при её естественном продолжении. При этом для двойки и тройки имеем по $5$ вариантов выбора образа, а для единицы всего два ($1$ и $5$). Итого перебор на $50$ вариантов. Но реально их ожидается ещё меньше. Поехали!

1) $\varphi(1) = 1, \varphi(2) = 1, \varphi(3) = 1$. Эндоморфизм, отправляющий всё в $1$.
2) $\varphi(1) = 1, \varphi(2) = 1, \varphi(3) > 1$. $\varphi(4) = 1$ и $\varphi(5) = 1$, но при этом $\varphi(5) > 1$. Отпадает.
3) $\varphi(1) = 1, \varphi(2) > 1, \varphi(3) = 1$. Отпадает по аналогичным причинам.
4) $\varphi(1) = 1, \varphi(2) = 2, \varphi(3) = 2$. $\varphi(4) = 4$ и $\varphi(5) = 5$. С другой стороны, $\varphi(5) = 4$. Отпадает.
5) $\varphi(1) = 1, \varphi(2) = 2, \varphi(3) = 3$. Тождественный эндоморфизм.
6) $\varphi(1) = 1, \varphi(2) = 2, \varphi(3) = 4$. $\varphi(4) = 4$, $\varphi(5) = 5$. Вроде бы эндоморфизм...

Н-да, тяжело это, перебирать вручную. Уж лучше программу!