Первый интеграл уравнения геодезических на поверхности вращ.

[David Sunrise]

Вот у меня есть уравнение геодезической на поверхности вращения: $ydx-xdy=Cds$,как найти его первый интеграл?
Вроде это как то связанно с тем что $r\sin(f)=\operatorname{const}$,и вроде последнее и есть первый интеграл уравнения геодезических,даже если так последнее я вывожу геометрически и первым интегралом там даже не пахнет....вот...буду рад помощи...

[svv]

Исходное уравнение геодезической, даже на поверхности вращения -- это уравнение второго порядка:

$$\frac{d^2 x^i}{ds^2} + \Gamma^i_{jk} \frac{dx^j}{ds} \frac{dx^k}{ds} = 0$$

Здесь $x^i \;(i=1,2)$ -- криволинейные координаты на поверхности.

В случае поверхности вращения справедлива теорема Клеро: вдоль геодезической сохраняется произведение:

(расстояние от точки до оси вращения) $\cdot$ (косинус угла между геодезической и параллелью),

или, что то же

(расстояние от точки до оси вращения) $\cdot$ (синус угла между геодезической и меридианом)

Если ось вращения $Oz$, то расстояние $\rho$ от точки до оси через декартовы координаты выражается так: $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$. Декартовы компоненты единичного вектора касательной к геодезической равны $(\frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds},\frac{dz}{ds})$. Единичный вектор, направленный по параллели (координатной линии $\varphi$ в цилиндрических координатах), равен $(\frac{y}{\rho}, -\frac{x}{\rho}, 0)$. Значит, упомянутый косинус угла равен скалярному произведению этих двух векторов, т.е. $\frac{y}{\rho}\frac{dx}{ds}-\frac{x}{\rho}\frac{dy}{ds}$. Теорема Клеро гласит, что если умножить его на $\rho$, то произведение будет константой на геодезической:
$y\frac{dx}{ds}-x\frac{dy}{ds}=C$
А это -- практически Ваше уравнение.

Левая часть этого уравнения, $y\frac{dx}{ds}-x\frac{dy}{ds}$, и есть первый интеграл уравнения геодезических (того, первоначального, второго порядка) для случая поверхности вращения.

Доказательство теоремы Клеро можно посмотреть здесь:
http://higeom.math.msu.su/people/chernavski/lectures.pdf
Страницы 75, 76.