Наибольшее значение наименьшего числа

[Ktina]

Пусть $0<x, y, z<1$ - три вещественных числа.
Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из трёх следующих чисел:
$(1 - x)y, (1 - y)z, (1 - z)x $?

[maxal]

Неравенство о средних:

$$\min\{ (1 - x)y, (1 - y)z, (1 - z)x \} \leq \sqrt[3]{(1 - x)y(1 - y)z(1 - z)x} \leq \frac{1}{4}.$$

(Второе неравенство получается из $x(1-x)\leq \left(\frac{x+(1-x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ и аналогичных для $y$ и $z$)

Таким образом, максимальное значение минимума - это $\frac{1}{4}$ и достигается оно для $x=y=z=\frac{1}{2}$.