В таких задачах трудно продвинуться, не имея коллекции примеров "экзотических" пространств. Вот один из таких примеров: метрическое пр-во - N - множество натуральных чисел. Метрика на нем:
![\[
\rho (m,n) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{0\;,\;m = n} \\
{1 + \frac{1}{{m + n}}\;,\;m \ne n} \\
\end{array}} \right.\quad
\] \[
\rho (m,n) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{0\;,\;m = n} \\
{1 + \frac{1}{{m + n}}\;,\;m \ne n} \\
\end{array}} \right.\quad
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/c/a1cf55d31f800d04a73d4cd7cc31eaba82.png)
и положим
Докажите, что заданная на множестве N функция пары точек делает его полным метрическим прострвнством и ограниченным множеством (ну а замкнутость - очевидна) , функция

непрерывна и неограничена на нем. Этот пример ответит на два Ваших первых вопроса.