2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 функциональный анализ(непрерывность функции)
Сообщение24.12.2006, 23:05 
Помогите пожалуйста ответь на вопросы!! javascript:emoticon(':(')

Пусть непрерывная F вещественнозначная функция, заданная на компакте X тогда F ограничена.

Верно ли это утверждение, если X ограниченное множество в полном метрическом пространстве?
А если X ограниченное замкнутое множество в полном метрическом пространстве?
А если Х ограниченное замкнутое множество в банаховом пространстве?

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 00:40 
Аватара пользователя
:evil:
Ваше мнение?

Видите ли, из того что Вы написали задачу, совсем не видно Вашей работы. А мы помогаем Вам решить, и не хотим решать за Вас. Ну дам я Вам ответы на эти вопросы, дальше что? Чему это Вас научит?

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 07:05 
я знаю что если пространсво конечномерно и полно то любое замкнутое и ограниченное множество является компактом и => это утверждение выполняется

Но о бесконечно мерных простарнства у меня нет соображений, я упорно читала книжки по функану но так и не разобралась

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 08:44 
Аватара пользователя
:evil:
Давайте разберем первую задачу. Рассмотрите какой-нибудь пример, постепенно усложняя его по мере надобности. Но начинать стоит с самого простого пространства.

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 09:06 
Аватара пользователя
В таких задачах трудно продвинуться, не имея коллекции примеров "экзотических" пространств. Вот один из таких примеров: метрическое пр-во - N - множество натуральных чисел. Метрика на нем: \[
\rho (m,n) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {0\;,\;m = n}  \\
   {1 + \frac{1}{{m + n}}\;,\;m \ne n}  \\
\end{array}} \right.\quad 
\] и положим $$
f(n) = n
$$
Докажите, что заданная на множестве N функция пары точек делает его полным метрическим прострвнством и ограниченным множеством (ну а замкнутость - очевидна) , функция $$
f(n) = n
$$ непрерывна и неограничена на нем. Этот пример ответит на два Ваших первых вопроса.

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 16:57 
flower_fire писал(а):
если пространсво конечномерно и полно

Если пространство конечномерно, то оно полно.

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 17:16 
Спасибо всем за помощь !!
я уже разобралась

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 22:27 
Аватара пользователя
:evil:
Я рад, что Вы разобрались. Но все-таки, ответ на первый вопрос не требует экзотических примеров. Достаточно рассмотреть открытое ограниченное множество, например интервал от 0 до 1 (и функцию $1/x$). Думаю, что Ваше внимание хотели обратить именно на это.

 
 
 
 
Сообщение25.12.2006, 22:42 
Аватара пользователя
Хотя тема уже закрыта, но добавлю пару слов.
Пусть $X$ - метрическое пространство. Тогда следующие утверждения равносильны:
1) Любая непрерывная на $X$ функция ограничена;
2) $X$ компактно.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group