Оценка суммы с простыми числами

[student]

Пусть $p$ и $q$ простые числа, такие что $p\equiv 1\mod 4$, $q\equiv 3\mod 4$.
Докажите что
$\Big|\sum\limits_{p<N}\frac{\ln p}{p}-\sum\limits_{q<N}\frac{\ln q}{q}\Big|=O(1)$.

[Sonic86]

Может быть разность еще меньше, поскольку
$\pi (x,4t\pm1) = \frac{1}{\varphi (4)} \int\limits_2^x \frac{dt}{\ln t}+R(x) = \frac{1}{\varphi (x)}\pi (x)$, где асимптотика $R(x)$ достаточно мала (можете в Прахаре посмотреть вывод формулы и оценку остаточного члена, если интегральный логарифм раскладывать в ряд слагаемых вида $\frac{x}{\ln ^k x}$, то $R(x)$ можно игнорировать)
Можно тупо отсюда вычислить асимптотику для простых $p,q$, подставить и подсчитать, только это немного нудно.

(Оффтоп)

пилите простые $n^2+1$? Я Вас раскусил