Делители числа (арифметика, которую я обожаю)

[Ktina]

Пусть $n$ - натуральное число, а $1=d_1<d_2<\dots <d_k=n$ - все его натуральные делители.

Найти все $n$, для которых выполняется $2n=d_5^2+d_6^2-1$, и доказать, что других нет.

[hippie]

Ответ: 272.

Искомое число имеет 10 делителей и $d_5\cdot d_6=n,$ причём $d_5$ и $d_6$ взаимно простые.
Следовательно, $n$ либо девятая степень простого числа либо имеет вид $n=p^4q.$ Вследствие взаимной простоты $d_5$ и $d_6$ первый случай невозможен, и один из указанных делителей равен $p^4,$ а другой $q.$
$d_5$ и $d_6$ разной чётности, следовательно $p=2.$
$|q-2^4|=1.$ Следовательно $q=17$ и $n=2^4\cdot 17 =272.$

[maxal]

вероятно, это вариация http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 56&t=22000
там рядом еще пяток похожих задач есть