Задача с использованием прогрессии

[Sigurd]

Здравствуйте.
Имеется такое задание:
Тело за каждую секунду, начиная со второй, проходит путь, который в одно и то же число раз длиннее пути, пройденного за предыдущую секунду. За первые три секунды тело прошло путь длиной 304 мм, а за четвёртую секунду прошло путь, который на 15,2 см длиннее пути, пройденного за первую секунду. Найдите время, которое потребовалось телу для прохождения пути длиной 205,9 см.

Я предполагаю, что мы имеем дело с геометрической прогрессией. Тогда попробуем для начала найти $a_1$ и $q$ с помощью уравнений, составленных по условию, например:
$a_1 + 152 = a_4 \Rightarrow a_1 + 152 = a_1q^3$
По идее, отсюда можно выразить число q:
$q^3 = \frac{a_1+152} {a_1} \Rightarrow q = \sqrt[3]{\frac{a_1+152} {a_1}}$
Далее можно составить уравнение суммы первых членов прогрессии:
$304 = \frac {a_1(q^3-1)} {q-1}$
...которое, вероятно, можно сократить, избавившись от знаменателя:
$304 = \frac {a_1(q^3-1)} {q-1} \Rightarrow 304 = \frac{a_1(q-1)(q^2+q+1)} {q-1} \Rightarrow 304 = a_1(q^2+q+1)$
Верен ли ход решения?

[Shadow]

То что Вы получили в конце - это первое условие задачи. Его надо было написать в начале, а не получать в конце.
Вместе с уравнением $a_1+152=a_1q^3$, получается система из друх уравнений с двумя неизвестными, которую можете решить.
Да, и оставьте его в виде $304 = \frac {a_1(q^3-1)} {q-1}$ Легче будет.

[Sigurd]

Хорошо.
Тогда решаем эту систему методом подстановки, выразив $q$ через $a_1$, как я написал выше. Получаем следующее уравнение:
$304 = \frac {a_1({(\sqrt[3]{\frac{a_1+152} {a_1}})^3 - 1})}{\sqrt[3]{\frac{a_1+152} {a_1}}-1} \Rightarrow$
$304 = \frac {\frac{a_1(a_1+152)}{a_1}-a_1}{\sqrt[3]{\frac{a_1+152} {a_1}}-1} \Rightarrow$
$304 = \frac {152} {\sqrt[3]{\frac{a_1+152} {a_1}}-1}$
...вот дальше мне несовсем ясно, как лучше избавиться от корня в знаменателе...
$304(\sqrt[3]{\frac{a_1+152} {a_1}}-1) = 152 \Rightarrow 152(\sqrt[3]{\frac{a_1+152} {a_1}}-1) = 1 \Rightarrow 152\sqrt[3]{\frac{a_1+152} {a_1}} = 153$
...в общем, далее я возвожу обе части в куб, чтобы избавиться от корня. Получаются заоблачные числа, и в итоге $a_1$ ни разу не похоже на правду.
Что я делаю не так?

[ИСН]

Последнюю строчку ещё раз, помедленнее.

[Cash]

Цитата:

$304 = \frac {152} {\sqrt[3]{\frac{a_1+152} {a_1}}-1}$

Посмотрите внимательно, что из себя представляет знаменатель?

[Shadow]

Вы идете своим путем, а я Вас хотел вернуть на уравнение $a_1+152=a_1q^3$. Нелзя ли записать его как-то по другому.

[Sigurd]

ИСН в сообщении #548020 писал(а):

Последнюю строчку ещё раз, помедленнее.

...это называется: внимательность и ещё раз внимательность...
Тогда пусть дробь $\frac{a_1+152} {a_1}$ будет $x$. Чисто для удобства.
$304 = \frac {152} {\sqrt[3]{x} - 1} \Rightarrow 304(\sqrt[3]{x}-1) = 152 \Rightarrow 2(\sqrt[3]{x}-1) = 1 \Rightarrow 2\sqrt[3]{x} = 3 \Rightarrow 8x = 27$
$8\frac{a_1+152}{a_1} = 27 \Rightarrow \frac{8a_1+1216}{a_1} = 27 \Rightarrow -19a_1 = -1216 \Rightarrow a_1 = 64$
Теперь альтернативный вариант:
$a_1 + 152 = a_1q^3 \Rightarrow a_1q^3 - a_1 = 152 \Rightarrow a_1(q^3 - 1) = 152 \Rightarrow a_1 = \frac{152}{q^3-1}$
$304 = \frac{152(q^3-1)}{(q^3-1)(q-1)} \Rightarrow 304 = \frac{152}{q-1} \Rightarrow 304(q-1) = 152 \Rightarrow$
$\Rightarrow 2(q-1) = 1 \Rightarrow 2q = 3 \Rightarrow q = 1.5$
Так, идём дальше:
$2059 = \frac{64(1.5^n-1)}{1.5-1} \Rightarrow 2059 = 128(1.5^n-1)$
Пусть $1.5^n$ будет $x$. Опять таки для удобства.
$2059 = 128x - 128 \Rightarrow 2187 = 128x \Rightarrow x = \frac{2187}{128} \Rightarrow$
$1.5^n = \frac{2187}{128} \Rightarrow \left ( \frac{3}{2} \right )^n = \frac{2187}{128} \Rightarrow n = 7$
В итоге, телу потребуется семь секунд для прохождения пути длиной 205,9 см.
Благодарю всех за содействие.