Перехват

[dovlato]

Одновременно из точек А и В, разнесенных в пространстве, вылетают два неуправляемых снаряда, и летят в однородном поле тяготения. Трение отсутствует. Начальная скорость снаряда в точке А равна $v_A $; угол между её направлением и линией АВ равен $\alpha$.
Найти минимальную начальную скорость в точке В, при которой оба снаряда ещё могут столкнуться.

[miflin]

Чтобы не заморачиваться с параболами (задача плоская?), перейдите
в систему отсчета, которая начинает падать одновременно со снарядами.
Тогда получится элементарная задача, аналогичная задаче столкновения
двух кораблей в море, скорости которых постоянны.

$V_B=V_A \sin \alpha$ - так вроде.
А направлена $V_B$ перпендикулярно АВ.

[Munin]

Только если $\alpha\leqslant\tfrac{\pi}{2}.$

[dovlato]

Решение и, главное, подход miflin совпали с моими. Правда, заметим, что задача вовсе не обязана быть "плоской". Плоская она только в свободно падающей системе отсчёта.
Замечание Мунина застало меня врасплох)).. Потом понял, что в этом случае оба синуса
должны быть равны друг другу ( $\alpha +\beta =\pi$), a $v_b > v_A$.
То есть векторы начальных скоростей типа, параллельны, а минимум по скорости не достигается.

[miflin]

Munin в сообщении #547552 писал(а):

Только если $\alpha\leqslant\tfrac{\pi}{2}.$

Угу.
При $\alpha>\frac{\pi}{2}$ модуль $V_B$ "чуточку" больше модуля $V_A$.

-- 11.03.2012, 23:10 --

dovlato в сообщении #547557 писал(а):

Правда, заметим, что задача вовсе не обязана быть "плоской".

Про "плоскую" я сказал впопыхах, не подумавши, подразумевая вертикальную
плоскость. Потом понял, что сболтнул лишнее, но править не стал. На самом
деле действие происходит в плоскости, задаваемой вектором $V_A$ и прямой АВ.
После перехода в падающую систему переходим далее в систему снаряда А
и всё как на ладони.

[Parkhomuk]

Лажа все. Задача действительно не плоская. Имеем сферическую систему отсчета, начало которой совмещено с т.А, вектор АВ в которой имеет нулевую широту, тогда данный по условию задачи угол есть широта вектора скорости Vа в начальный момент. Следовательно можно подобрать такой полярный угол для этого вектора (в начальный момент времени, при условии что широта меньше 90) и его величину (нач.скорость), что траектория снаряда А пересечет т.В. Что соответствует решению задачи Vb_min = 0. Однако, для Va соответствующиму этой величине при другой величине полярного угла не будет решений для траекторий пересекающих т.B, следовательно Vb_min не равно нулю. Т.е. решение задачи неоднозначно при данных условиях. Именно потому задача не плоская и в условиях не хватает данных. Данных достаточно для плоской задачи, но отом что она плоская в ней не сказано.

[Munin]

Parkhomuk в сообщении #547605 писал(а):

что траектория снаряда А пересечет т.В. Что соответствует решению задачи Vb_min = 0.

Увы, нет, не соответствует. В нулевой момент времени снаряд в точке B отпускается в свободное падение, и поэтому оставаться конечный промежуток времени в этой точке с нулевой скоростью не может. Единственный вариант для него через конечное время оказаться снова в этой точке - это взлететь вертикально вверх, и упасть обратно. А это не нулевая начальная скорость.

[Батороев]

dovlato в сообщении #547557 писал(а):

Решение и, главное, подход miflin совпали с моими. Правда, заметим, что задача вовсе не обязана быть "плоской". Плоская она только в свободно падающей системе отсчёта.
Замечание Мунина застало меня врасплох)).. Потом понял, что в этом случае оба синуса
должны быть равны друг другу ( $\alpha +\beta =\pi$), a $v_b > v_A$.
То есть векторы начальных скоростей типа, параллельны, а минимум по скорости не достигается.

Должны быть равны вертикальные (если считать, что сила тяготения действует вдоль вертикали) составляющие скоростей: $v_A\cdot \sin \alpha=v_B\cdot \sin \beta$.
И если $v_B>v_A$, то $\sin\beta<\sin \alpha$.

Будем считать, что АВ находится "на земле" (иначе слова "еще успеют столкнуться" не имеют смысла). Как мне видится, минимум должен соответствовать скорости второго снаряда , при котором столкновение произойдет на излете первого снаряда (т.к. время до столкновения максимально). Впрочем, итог может быть и другим (для этого надо считать).

[Munin]

Батороев в сообщении #547711 писал(а):

Должны быть равны вертикальные (если считать, что сила тяготения действует вдоль вертикали) составляющие скоростей

Это вы считаете, что отрезок AB горизонтален.

[miflin]

Parkhomuk, Батороев
Снаряды свободно падают, след-но находятся в невесомости, где понятие
вертикали отсутствует. Поэтому самый простой способ описания - в падающей
вместе со снарядами системе. Все направления равноправны. А если какое-то
вы и выделили, то это пережитки земной психологии, пытающейся затуманить
решение. Не дайте заворожить себя.

Вот посмотрите, как можно расписать элементарную устную задачу из той же оперы.
Даже не устную - там вообще ничего считать не надо.
http://www.youtube.com/watch?v=0OV1E9M9Kkc
Конечно, преподаватель хотел устроить шоу, но всё то, что он написал на
доске, было бы излишним при переходе в падающую систему.
Просто у него не было под рукой лифта Эйнштейна.

Посмотрите, там в конце интересная демонстрация.

[dovlato]

"Должны быть равны вертикальные (если считать, что сила тяготения действует вдоль вертикали) составляющие скоростей (Батороев)"
На самом деле, помимо прочих, для встречи обоих снарядов обязательно исполняется условие для векторов начальных скоростей:
Если разложить начальные скорости $v_A, v_B$ на составляющие, параллельные АВ, и на перпендикулярные ей, то перпендикулярные составляющие скоростей, как векторы, - вот они действительно равны.
А вообще, предлагаются такие общие утверждения:
1. Условие столкновения тел, одновременно вылетающих из произвольных точек, не зависит от наличия внешней однородной гравитации.
2. Если точки старта лежат в какой-то произвольной плоскости $\alpha$, то условие встречи не зависит от внешней гравитации, если перпендикулярная составляющая её вектора ускорения зависит только от расстояния от $\alpha$, а вектор её параллельной составляющей - постоянный.

[miflin]

Перейдя в падающую систему, а затем в систему снаряда А (инерциальную,
если кому-то интересно), имеем устно решающееся:



Sapienti sat.

[dovlato]

Sat.. А я получал перпендикулярность $v_B, AB$ без рисунков, как-то не сразу допёр.
Физика вообще без рисунков не бывает, при всех её интегралах.

[Parkhomuk]

Munin в сообщении #547709 писал(а):

Parkhomuk в сообщении #547605 писал(а):
что траектория снаряда А пересечет т.В. Что соответствует решению задачи Vb_min = 0.

Увы, нет, не соответствует. В нулевой момент времени снаряд в точке B отпускается в свободное падение, и поэтому оставаться конечный промежуток времени в этой точке с нулевой скоростью не может...

Да, Вы правы.., однако если предположить, что на тело т.В не действует сила тяжести, то мои рассуждения верны.

В случае условий этой задачи основной смысл мое поста:

Parkhomuk в сообщении #547605 писал(а):

Лажа все. Задача действительно не плоская. Имеем сферическую систему отсчета, начало которой совмещено с т.А, вектор АВ в которой имеет нулевую широту, тогда данный по условию задачи угол есть широта вектора скорости Vа в начальный момент. Следовательно можно подобрать такой полярный угол для этого вектора (в начальный момент времени, при условии что широта меньше 90) и его величину (нач.скорость), что траектория снаряда А пересечет т.В. Что соответствует решению задачи Vb_min = 0. Однако, для Va соответствующиму этой величине при другой величине полярного угла не будет решений для траекторий пересекающих т.B, следовательно Vb_min не равно нулю. Т.е. решение задачи неоднозначно при данных условиях. Именно потому задача не плоская и в условиях не хватает данных. Данных достаточно для плоской задачи, но отом что она плоская в ней не сказано.

с учетом Вашего замечания можно переписать так:
Пусть Vв начальная равна нулю. Пусть столкновение снарядов происходит через время t. Тогда через время t снаряды находятся в точке В’, причем множество В’(t) есть прямая. Следовательно, для единственного возможного начального значения Vа (при заданном альфа) существует единственное значение полярного угла (т.к. т.А и множество В’(t) образуют плоскость), т.е. при прочих его значениях, очевидно, нет решений для всех t, таких, что множество А’(t) пересекает множество В’(t). А из условия задачи предполагается что полярный угол может принимать любые значения.
P.S. Не понимаю почему тут до сих пор решают плоскую задачу

[miflin]

(Оффтоп)

Parkhomuk в сообщении #547886 писал(а):

P.S. Не понимаю почему тут до сих пор решают плоскую задачу.

Лозунг: "Плоским умам - плоские задачи!"

Воть:
Со стола взлетели три мухи.
Какова вероятность того, что они окажутся в одной плоскости?