Потерянный шар [Теория вероятностей]

[Whitaker]

Добрый день, дорогие друзья!
Помогите пожалуйста решить такую задачку, а то я сам не знаю с чего начать и как сделать.
В урне первоначально находилось $a$ белых и $b$ черных шаров. Один шар потерян (цвет его неизвестен). Из урны без возвращения извлечены $2$ шара, оба они оказались белыми. Найти вероятность того, что потерян белый шар.

С уважением, Whitaker.

[ewert]

Whitaker в сообщении #547296 писал(а):

а то я сам не знаю с чего начать и как сделать.

С формулы Байеса. Гипотезы: потерян белый, потерян чёрный...

[Whitaker]

ewert а можно так?
$P\{$взяты 2 белых шара $\mid$ потерян белый шар $\}$

[ewert]

Даже нужно. Но далеко не только это.

[Whitaker]

ewert
У меня получилось, что: $P\{$взяты 2 белых шара $\mid$ потерян белый шар $\}$=$\dfrac{(a+b)(a-1)(a-2)}{a(a+b-1)(a+b-2)}$
А что еще нужно найти что-нибудь дополнительное?

[ewert]

Whitaker в сообщении #547309 писал(а):

$P\{$взяты 2 белых шара $\mid$ потерян белый шар $\}$=$\dfrac{(a+b)(a-1)(a-2)}{a(a+b-1)(a+b-2)}$

Нет.

Whitaker в сообщении #547309 писал(а):

А что еще нужно найти что-нибудь дополнительное?

Ещё нужно решить задачу. Но сначала вспомнить, что там, собственно, спрашивалось.

[Whitaker]

$P\{$взяты 2 белых шара $\mid$ потерян белый шар $\}$$=P\{$взяты 2 белых шара, потерян белый шар$\}$$/$$P\{$потерян белый шар $\};$
Так как: $P\{$потерян белый шар$\}$$=\dfrac{a}{a+b};$
$P\{$взяты 2 белых шара, потерян белый шар$\}$$=\dfrac{(a-1)(a-2)}{(a+b-1)(a+b-2)};$
Вроде ведь все верно.

[ewert]

Whitaker в сообщении #547421 писал(а):

$P\{$взяты 2 белых шара, потерян белый шар$\}$$=\dfrac{(a-1)(a-2)}{(a+b-1)(a+b-2)};$

Нет. Это -- вовсе не вероятность произведения этих двух событий. А -- что за вероятность?...

[Whitaker]

ewert в сообщении #547430 писал(а):

Whitaker в сообщении #547421 писал(а):

$P\{$взяты 2 белых шара, потерян белый шар$\}$$=\dfrac{(a-1)(a-2)}{(a+b-1)(a+b-2)};$

Нет. Это -- вовсе не вероятность произведения этих двух событий. А -- что за вероятность?...

Нам нужно найти $P\{$взяты 2 белых шара, потерян один шар$\}$.
В урне изначально было всего $a$ белых и $b$ черных шаров. Так как белый шар потерялся, тогда: осталось $(a-1)$ белых и $b$ черных шаров.
Так как у нас - выборка без возвращения, то:
$\dfrac{a-1}{a+b-1}\times \dfrac{a-2}{a+b-2}$
Вроде все верно же? Или я где-то туплю?

-- Вс мар 11, 2012 19:19:46 --

Или все-таки так: $\dfrac{a-1}{a+b}\times \dfrac{a-2}{a+b-1}$ ???

[ewert]

Whitaker в сообщении #547434 писал(а):

Нам нужно найти $P\{$взяты 2 белых шара, потерян один шар$\}$.

Нам совсем не нужно это искать. Нам нужно найти все элементы формулы Байеса непосредственно.

Whitaker в сообщении #547434 писал(а):

Вроде все верно же? Или я где-то туплю?

Вы неправильно интерпретируете то, что считаете. Это -- не та вероятность, которая была обозначена в первой строчке.

[Whitaker]

ewert
$A_1$ и $A_2$ - гипотезы состоящие в том, что потерян белый и черный шар соответственно.
После Вашей подсказки, многое стало намного понятней.
Но ведь еще нужно чтобы $A_1$ и $A_2$ были разбиением $\Omega$, т.е. $A_1\cap A_2 = \varnothing$ и $A_1+A_2=\Omega$
P.S.Мне не совсем ясно почему они будут разбиением?
Это наверное довольно очень тривиальный вопрос, но я понять не могу ....
Пусть $B$-событие, состоящее в том, что извелечены $2$ белых шара.
Нам фактически нужно найти $P\{A_1\mid B\}=\dfrac{P\{A_1\}P\{B\mid A_1\}}{P\{A_1\}P\{B\mid A_1\}+P\{A_2\}P\{B\mid A_2\}}=\dfrac{P\{BA_1\}}{P\{BA_1\}+P\{BA_2\}}=$$\dfrac{\frac{(a-1)(a-2)}{(a+b)(a+b-1)}}{\frac{(a-1)(a-2)}{(a+b)(a+b-1)}+\frac{a(a-1)}{(a+b)(a+b-1)}}=\dfrac{a-2}{2(a-1)}$
Не знаю, но у меня вроде такой ответ получился (удивлен тем, что вероятность не зависит от $b$).
Скажите пожалуйста правильно ли я сделал?

[Shadow]

Нет, Whitaker, неправильно сделали. Если черных шаров не было ($b=0$), то вероятность будет 1, а не то, что Вы получили. Ответ зависит от b. Если путаетесь в гипозах, можете решать следующим образом:
Решить задачу: В урне а белых и в черных шаров. Один потерян (взят), а потом взяли еще 2. Какова вероятность, что эти два будут белыми.
Решение будет иметь вид $P=p_1+p_2$.

А решение вашей задачи будет $\frac{p_1}{p_1+p_2}$

[Whitaker]

Shadow в сообщении #547573 писал(а):

Если путаетесь в гипозах, можете решать следующим образом:
Решить задачу: В урне а белых и в черных шаров. Один потерян (взят), а потом взяли еще 2. Какова вероятность, что эти два будут белыми.

Ну это задачу я так решил:
Если потерян белый шар, то в урне осталось $a-1$ белых и $b$ черных. $P\{$1-й шар белый, 2-й шар белый$\}=\dfrac{(a-1)(a-2)}{(a+b-1)(a+b-2)};$ Здесь выборка без возвращения.
Если потерян черный шар, то в урне осталось $a$ белых и $b-1$ черных шаров. $P\{$1-й шар белый, 2-й шар белый$\}=\dfrac{a(a-1)}{(a+b-1)(a+b-2)};$
Вот так вроде у меня получилось

[Shadow]

Whitaker, из урны взяли 3 шара. Какова вероятност, что второй и третий будут белыми.

[Whitaker]

Shadow в сообщении #547603 писал(а):

Whitaker, из урны взяли 3 шара. Какова вероятност, что второй и третий будут белыми.

Пусть до 2-го шага взято $r$ белых и $t$ шаров, причем $r+t=1$ и $r,t\geq 0$ Тогда вероятность того, что 2-й и 3-й шар белые равно $\dfrac{A_{a}^{r+2}A_{b}^{1-r}}{A_{a+b}^{3}}$, где $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$;
Например при $r=0$ получается $\dfrac{ab(a-1)}{(a+b)(a+b-1)(a+b-2)}$; при $r=1$ получается $\dfrac{(a-1)(a-2)(a-3)}{(a+b)(a+b-1)(a+b-2)}$
Теперь правильно?