Задача на максимум (румынская олимпиада)

[Ktina]

Найти наибольшее значение выражения $(x^3+1)(y^3+1)$, если $ x $ и $ y $ - вещественные числа, в сумме дающие единичку.

[ewert]

$=x^3y^3-3xy+2=t^3-3t+2,\ \ t=xy\leqslant\frac14\ \ \Rightarrow\ \ t=-1\ \ \Rightarrow\ \ \max=4.$

Ещё два способа (в порядке ухудшения).

Способ 2. $x=\frac12+t,\ y=\frac12-t.$ Функция $\big( (\frac12+t)^3+1\big)\big( (\frac12-t)^3+1\big)$ чётная, поэтому после тупого раскрытия скобок получится кубический многочлен от $t^2$.

Способ 3. Просто взять производную. Поскольку $y'(x)=-1$, получается $3x^2(y^3+1)-3y^2(x^3+1)=0$, откуда $x=y$ или $xy=\pm1$, но дальше там некоторая возня с подстановками.

[arqady]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #546519 писал(а):

Чего у мужчины две, у женщины - шесть, а у крокодила - нет вообще?

туфли?