Три мушкетёра и алфёровские числа

[Ktina]

50-значное натуральное число, не содержащее нулей в десятичной записи, называется алфёровским, если оно делится на сумму квадратов своих цифр.
Межу тремя мушкетёрами произошёл такой триалог:

Атос (смеясь): "Алфёровских чисел очень много - больше трёхсот миллионов!".
Портос (смиренно): "Неправда, их меньше трёхсот миллионов".
Арамис (старыжно): "Вы оба не правы, их ровно триста миллионов".

Но пришёл д’Артаньян и с боярского плеча рассудил их спор.
Попробуйте и Вы.

[hippie]

Больше не только трёхсот миллионов, но и триллиона.

Если в записи числа есть 26 двоек и 24 единицы, и оно заканчивается на 2122112, то оно делится на сумму квадратов своих цифр ($26\cdot4+24\cdot1=128$).
Таких чисел $C_{43}^{21}=1052049481860.$

[Ktina]

hippie в сообщении #546280 писал(а):

Больше не только трёхсот миллионов, но и триллиона.

Если в записи числа есть 26 двоек и 24 единицы, и оно заканчивается на 2122112, то оно делится на сумму квадратов своих цифр ($26\cdot4+24\cdot1=128$).
Таких чисел $C_{43}^{21}=1052049481860.$

Вот моё решение:

Если оканчивается на 125, значит делится на 125.
$1^2+2^2+5^2=30$
Осталось добрать 95.
47 единичек дают 47, остальные 48 можно добрать, заменив 16 единичек на двоечки.
$C_{47}^{16}>300000000$
И, кстати, даже больше полутора триллионов.

[hippie]

А сможете доказать, что их больше чем $10^{30}$ ?
(Или даже чем $10^{32}?$)

[Ktina]

hippie в сообщении #546325 писал(а):

А сможете доказать, что их больше чем $10^{30}$ ?
(Или даже чем $10^{32}?$)

Покамест, не могу, но полагаю, что это - дело техники. Найти подходящий конец (кроме 125 и 2122112 есть ещё туча), и добирать потихонечку.