Слабо пифагоров кирпич

[scwec]

Натуральные $x,y,z,p,q,r$ таковы, что $x^2+y^2=p^2$, $y^2+z^2=q^2$, $z^2+x^2=r^2$ и $\min(x,y,z,p,q,r)=480$.
Найти $x,y,z,p,q,r$

[hippie]

Ответ: {480, 504, 550, 696, 746, 730} или {480, 693, 2376, 843, 2475, 2424}.

По-моему, минимум подобран неудачно, так что в обоих наборах числа не являются взаимно простыми. (В первом случае общий делитель 2; во втором — 3.)

[scwec]

hippie, ответ получен с компьютера?
Если да, то пусть, например, $\min(x,y,z,p,q,r)=10037744640$

[hippie]

scwec в сообщении #546092 писал(а):

hippie, ответ получен с компьютера?

С помощью калькулятора. Перебором, с отбрасыванием заведомо неподходящих пар.

scwec в сообщении #546092 писал(а):

Если да, то пусть, например, $\min(x,y,z,p,q,r)=10037744640$

Интересный вопрос, и "калькуляторным перебором", кажется, не решается. Сейчас попытаюсь написать подходящую программу.

(Оффтоп)

Заранее извиняюсь, если не получится. Программирование у меня на очень низком уровне .

[hippie]

Программа досчитала и выдала 56 вариантов:

{10037744640, 313293110823, 63912584736, 313453871577, 319745823705, 64696018464};
{10037744640, 128287081692, 15041408256, 128679181092, 129165859620, 18083149056};
{10037744640, 71026627980, 43225988400, 71732406900, 83146063980, 44376146640};
{10037744640, 204281750520, 62695166400, 204528213000, 213686025480, 63493623360};
{10037744640, 204281750520, 32706317952, 204528213000, 206883389448, 34211979648};
{10037744640, 28338093000, 20480090400, 30063330360, 34964004600, 22807683360};
{10037744640, 504705255480, 401447049696, 504805062600, 644893114104, 401572521504};
{10037744640, 504705255480, 12619603200, 504805062600, 504863000520, 16124847360};
{10037744640, 14669903976, 85786676768, 17775331224, 87031948120, 86371929632};
{10037744640, 11936252592, 24302357056, 15595846992, 27075425840, 26293742144};
{10037744640, 21845538000, 62695166400, 24041294640, 66392103600, 63493623360};
{10037744640, 28894530896, 15678875520, 30588400304, 32874322096, 18616752000};
{10037744640, 65318215200, 19787846400, 66084987360, 68249748000, 22188176640};
{10037744640, 65318215200, 33133851520, 66084987360, 73241527520, 34620924800};
{10037744640, 14491993824, 49686835968, 17628789024, 51757120800, 50690610432};
{10037744640, 15554973600, 67383008000, 18512523360, 69155093600, 68126544640};
{10037744640, 25826280480, 46897245824, 27708357600, 53538289376, 47959441024};
{10037744640, 13176863392, 13460855730, 16564602208, 18836782258, 16791395250};
{10037744640, 14108001600, 14140788480, 17314503360, 19974924480, 17341228800};
{10037744640, 120243816000, 10953888000, 120662055360, 120741720000, 14857455360};
{10037744640, 120243816000, 110187060480, 120662055360, 163094339520, 110643321600};
{10037744640, 24564772800, 331169529600, 26536472640, 332079336000, 331321616640};
{10037744640, 11501582400, 10953888000, 15265736640, 15883137600, 14857455360};
{10037744640, 11501582400, 10539631872, 15265736640, 15600328128, 14554729728};
{10037744640, 27083891520, 13625770752, 28884139200, 30318291648, 16923886848};
{10037744640, 21176852928, 25730059520, 23435345472, 33324091328, 27618694400};
{10037744640, 14817924800, 15041408256, 17897687360, 21114328256, 18083149056};
{10037744640, 92312099584, 63737253888, 92856233216, 112178256640, 64522816512};
{10037744640, 92312099584, 14537891520, 92856233216, 93449847616, 17666539200};
{10037744640, 42622944000, 17985567600, 43788944640, 46262252400, 20597013360};
{10037744640, 331169529600, 135323668480, 331321616640, 357750964480, 135695436800};
{10037744640, 12652980480, 10254081600, 16150982400, 16286316480, 14349303360};
{10037744640, 49686835968, 34415124480, 50690610432, 60441562368, 35849088000};
{10037744640, 24670060800, 37823385600, 26633967360, 45157728000, 39132656640};
{10037744640, 61186306048, 316109291520, 62004196352, 321976471552, 316268620800};
{10037744640, 135323668480, 49799479296, 135695436800, 144195989504, 50801028096};
{10037744640, 135323668480, 17482405248, 135695436800, 136448267648, 20159137152};
{10037744640, 212825292800, 316109291520, 213061872640, 381077012480, 316268620800};
{10037744640, 212825292800, 91738902528, 213061872640, 231755542528, 92286415872};
{10037744640, 225737723904, 28539371520, 225960784896, 227534647296, 30253132800};
{10037744640, 19304914944, 33774729408, 21758585856, 38902597440, 35234764992};
{10037744640, 20436971520, 24302357056, 22768972800, 31753336256, 26293742144};
{10037744640, 11625369600, 30681907200, 15359216640, 32810496000, 32282127360};
{10037744640, 99120193536, 165470699520, 99627150336, 192886923264, 165774873600};
{10037744640, 58698731520, 85786676768, 59550796800, 103946596832, 86371929632};
{10037744640, 30681907200, 27985668480, 32282127360, 41528027520, 29731363200};
{10037744640, 54751334400, 58123321344, 55663856640, 79850041344, 58983699456};
{10037744640, 54751334400, 26691275520, 55663856640, 60910859520, 28516320000};
{10037744640, 18227269632, 46897245824, 20808403968, 50314858880, 47959441024};
{10037744640, 114098417664, 72112341600, 114539099136, 134976437664, 72807596640};
{10037744640, 46493081600, 157935148800, 47564303360, 164636320000, 158253807360};
{10037744640, 46493081600, 73730120256, 47564303360, 87165000256, 74410261056};
{10037744640, 41491632000, 10902276000, 42688544640, 42900060000, 14819444640};
{10037744640, 10331291520, 10364018704, 14404579200, 14633812496, 14428069904};
{10037744640, 10254081600, 13460855730, 14349303360, 16921608270, 16791395250};
{10037744640, 39045661200, 17412392052, 40315257360, 42752252052, 20098450548}.

Кажется, среди них нет повторяющихся.

[nnosipov]

hippie в сообщении #546173 писал(а):

Интересный вопрос, и "калькуляторным перебором", кажется, не решается.

Здесь проблем нет, так как всё сводится к перебору делителей небольшого числа $10037744640^2$. Задачу нужно переформулировать так, чтобы не было смысла привлекать компьютер. Возможно, scwec намекает на какие-то тождества. Может быть, так: найти бесконечно много решений указанной системы уравнений (это может быть любопытно, если, конечно, нет каких-то тривиальных серий решений).

[hippie]

Вчера, решая исходную задачу, я ошибся , из-за чего перебор уменьшился больше чем в 10 раз.
Сейчас проверил на компьютере — ответ всё-таки правильный, действительно есть только 2 шестёрки.

nnosipov в сообщении #546187 писал(а):

Возможно, scwec намекает на какие-то тождества. Может быть, так: найти бесконечно много решений указанной системы уравнений (это может быть любопытно, если, конечно, нет каких-то тривиальных серий решений).

Задача поставлена как решение системы:
Дано {система уравнений и неравенств};
Найти {решения системы}.
Обычно такая постановка задачи подразумевает нахождение всех решений. Вряд ли это можно сделать с помощью каких-либо тождеств. И тем более без перебора.

[scwec]

Решения hippie, конечно, принимаются. Однако, имелось в виду попытаться найти подходящую параметризацию, которая бы давала, как правильно заметил nnosipov, бесконечное число решений указанной системы и выдерживала условия для минимума.
В данном случае вот она:
$x=|2(n^2-4n+5)^2(n^2-5n+5)(n^2-5)|$,
$y=|4n(n-2)(2n-5)(n^2-4n+5)(n^2-5n+5)|$,
$z=|n(n-1)(n-2)(n-3)(n-5)(2n-5)(3n-5)|$.
$n$ - любое целое число.
При $n=4$ $\min(...)=480$,
при $n=23$ $\min(...)=10037744640$ - девятая строка решений hippie.
Конечно, эта параметризация не дает всех решений, так же, как и известная параметризация Эйлера, которая в нашем случае вообще решений не имеет.
Как получить все решения указанной системы - открытая проблема.
Кстати, первоначальное название темы - параметризация пифагорова кирпича.

[g______d]

scwec в сообщении #546259 писал(а):

Как получить все решения указанной системы - открытая проблема.

Насколько открытая? Целые решения этой системы примерно соответствуют рациональным точкам некоторой поверхности в $\mathbb P^5$ (поверхность представляет собой пересечение трех квадрик). Про нее что-нибудь известно? Например, к какому известных классов она относится? Я не алгебраический геометр, но мне представляется вполне реалистичным, что она может быть рациональной, и тогда у множества всех решений есть параметризация.

[scwec]

Подтверждение открытости вопроса можно найти у В.В.Острик М.А.Цфасман. Детали продвинутости мне не известны.
Общая параметризация, на мой взгляд, не исключена.

[g______d]

Если кому интересно, я нашел текст про это

http://projecteuclid.org/DPubS?service= ... 1250126291

Там доказано несколько фактов про эту поверхность. Но мне лень разбираться --- в частности, я не знаю, продвинулся ли автор в вопросе параметризации.

[scwec]

Приведенная статья использует аппарат эллиптических кривых. (Кстати, предъявленная мной выше параметризация тоже его использует.)
Приведу пример параметризации, которая получается из элементарных тождеств.
Ищем бесконечную серию решений системы уравнений $x^2+y^2=p^2$, $y^2+z^2=q^2$, $z^2+x^2=r^2$ в натуральных числах.
Пусть $a^2+b^2=c^2$, где $a,b,c$ - натуральные числа.
Определим $x,y,z$: $x=|a(4b^2-c^2)|$, $y=|b(4a^2-c^2)|$, $z=4abc$
Справедливы равенства: $x^2+y^2=c^6$, $y^2+z^2=b^2(4a^2+c^2)^2$, $z^2+x^2=a^2(4b^2+c^2)^2$. Откуда $p=c^3,q=b(4a^2+c^2),r=a(4b^2+c^2)$
Положим теперь $a=2mn$, $b=|m^2-n^2|$, $c=m^2+n^2$ и получаем выражения для $x,y,z,p,q,r$ через $m,n$ ($m\ne{n}$ - натуральные числа).
В частности, при $m=1$ - это параметризация Эйлера.

[boris-nn]

вот ссылка на решение задачи о рациональном кубоиде arXiv:1305.3380.Задача решена для частного случая,но можно и обобщить.Главное,есть метод для описания всех Эйлеровых кирпичей,если таковыми называть все прямоугольные параллелепипеды с одним нецелым элементом(ребро или диагональ).

[scwec]

boris-nn, откройте свою тему, лучше в виде сформулированной задачи, раз уж в олимпиадном разделе.
Обсуждать что-то по ссылке не очень приемлемый вариант.

[boris-nn]

scwec
извиняюсь, не прочитал правил. За совет спасибо.