Невырожденность трехдиагональной матрицы

[Enoid]

Здравствуйте!
Имеется трехдиагональная матрица специального вида:

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ -2(t+1) & 2t+4 & -(t+2) & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & -2(t+2) & (2t+7) & -(t+3) & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots& \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -2(t+1+k) & 2t+4+3k & -(t+2+k)\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$$

Здесь $t, k$ - произвольные натуральные числа.
Требуется показать, что данная матрица невырожденная (определитель не равен 0), или найти контр пример. Логика задачи подсказывает, что верно, скорее всего, первое.
Ясно, что эту матрицу можно немного упростить, убрав первые и последние столбцы и строки. Я привел их, чтобы закономерность в диагоналях просматривалась лучше.
Можно также заметить, что в силу построения матрицы, сумма во всех строках (кроме первой и последней) постоянна.
Буду рад любым идеям, как подойти к решению этой задачи).

[мат-ламер]

Взять определители малых порядков и исследовать с помощью матпакетов. Для определителя второго порядка посмотрите, нет ли корня $t=-2$.

-- Вт мар 06, 2012 22:26:50 --

Есть подозрение, что у матрицы чётного порядка определитель есть многочлен нечётной степени.
(Извиняюсь, не заметил слово "натуральные" в условии - 7.03.12)

[g______d]

Корень $t=-2$, конечно, есть (вторая строчка в этом случае равна нулю).

Я бы еще предложил подействовать матрицей на вектор и понять, что значит, что действие равно нулю. Легко видеть, что первая компонента такого вектора равна 0, вторую можно считать единицей (т. к. иначе можно отмасштабировать), третья равна двойке и т. д. (не в смысле что четвертая равна тройке). Будет рекуррентное соотношение на компоненты вектора, которое имеет решение из того, что коэффициент при следующей компоненте не равен нулю. И так до предпоследней строчки, откуда мы найдем последнюю компоненту вектора (видимо, $x_{k+3}$). А последняя строчка как бы говорит нам, что $x_{k+3}=0$. И здесь можно пытаться прийти к противоречию --- например, доказать, что в процессе решения рекуррентных уравнений возникают только положительные числа. Если это верно, конечно.