2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Неравенство
Сообщение18.03.2012, 15:24 
Да, f(b)>v(b). А существует ли, подходящее к данному неравенству условие, чтобы "предложение" стало верным. Например, если потребовать однозначность и монотонность самих функций и обратных. Подумаю.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение25.03.2012, 11:10 
Не подходит. А если рассматривать неотрицательные функции? Я хочу найти условие, при котором "предложение" станет верным потому, что мне не нравится доказательство Dave. Т.к. он использует неравенство $e^{t}>t+1$, справедливость, которого следует из неравенства $e^{t+at}>t+1$, при всех а>0, т.е. во внутренней области. На границе области, при а=0, справедливость неравенства не очевидна, т.к. использование предела иногда может дать ошибочный результат. Например, как в теореме Гурвица об устойчивости многочленов. Хотелось бы увидеть доказательство без использования понятия "предел". Arqady, мне не понятно, как от $a+b+c=1$ перейти к общему случаю.
Хочу предложить для частного случая простое доказательство.

$(x,y,z)\in[0;\frac2 3]$. Пусть $z=\max(x,y,z)$. Тогда усиление даёт $\sqrt[3]{1+z^3}>3z-1<1$. Отсюда неравенство при $z<\frac2 3$ верно.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение25.03.2012, 20:20 
TR63 в сообщении #551903 писал(а):
Arqady, мне не понятно, как от $a+b+c=1$ перейти к общему случаю.

Неравенство ведь неоднородно. Далось Вам это $a+b+c=1$...
Потом... и неравенство уже доказано и несколькими способами.
Лучше попробуйте моё следующее неравенство в этом топике. Оно симпатичное!

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение08.04.2012, 13:52 
arcady,

у Вас все неравенства суперклассные. Но меня интересует именно это. И, в частности, его простое школьное доказательство. Т.е. без использования понятий "предел", "производная", "математическая индукция". И я его нашла.

На Форуме "Портал Естественных Наук" предложена идея, аналогичная моей при x=1. Остаётся её применить для x>0. Я проверила для Вашего неравенства. Всё сходится. (Мне это надо для исследования, скорее иллюстрации, другой задачи.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение12.04.2012, 18:49 
arqady в сообщении #547846 писал(а):

Вот его усиление:
Пусть $a$, $b$ и $c$ неотрицательные такие, что $a+b+c=1$. Докажите, что:
$$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\geq2\sqrt{ab+ac+bc}$$


$LHS \ge 3 \sqrt{(\frac{a+b+c}{3})^{2}+abc}\geq2\sqrt{ab+ac+bc} $ ( By Shur) :D

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение13.04.2012, 23:41 
Всё правильно! Вы воспользовались Минковским. В моём доказательстве мы можем воспользоваться Коши-Шварц (после возведения обеих частей неравенства в квадрат).
Следующее более сильное (в смысле $b=c=0$ и $a=1$ :wink: ) неравенство также имеет красивое доказательство.

Пусть $a$, $b$ и $c$ неотрицательные числа такие, что $a+b+c=1$. Докажите, что:
$$\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\geq\sqrt{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc+2\sqrt{3abc}}$$

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group