Сумма синусов и сумма косинусов

[Ktina]

При каких натуральных $n$ для любых $n$ углов, составляющих арифметическую прогрессию с разностью, равной $120^{\circ}$, сумма их синусов (а также сумма их косинусов) равна нулю?

[ewert]

$\cos(\varphi_0+\frac{2\pi k}3)=\mathop{\mathrm{Re}}e^{i(\varphi_0+\frac{2\pi k}3)}$ и, следовательно.

[Ktina]

ewert в сообщении #545176 писал(а):

$\cos(\varphi_0+\frac{2\pi k}3)=\mathop{\mathrm{Re}}e^{i(\varphi_0+\frac{2\pi k}3)}$ и, следовательно.

Здесь можно абсолютно без вышки обойтись, задача для восьмого класса.

[ewert]

Можно ровно то же рассуждение провести и просто нарисовав кружок. А можно и в два действие через элементарную тригонометрию -- но сначала всё-таки нарисовать, чтоб догадаться, что именно надо доказывать.

[Ktina]

ewert в сообщении #545178 писал(а):

Можно ровно то же рассуждение провести и просто нарисовав кружок. А можно и в два действие через элементарную тригонометрию -- но сначала всё-таки нарисовать, чтоб догадаться, что именно надо доказывать.

Можно даже и не рисовать. Непосредственной проверкой убеждаемся, что $n=1$ и $n=2$ не годятся.
Для $n=3$ воспользуемся формулой синуса суммы (и косинуса суммы).
Ответ: при всех $n$, кратных трём.