Ряд из обратных к простым числам

[Lion]

Хорошо известно, что ряд из обратных к натуральным числам $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ расходится. Докажите, что ряд из обратных к простым числам $\sum\limits_{p-\text{простое}}^\infty\frac{1}{p}$ тоже расходится, а ряд из обратных к простым числам-близнецам $\sum\limits_{p_1,p_2-\text{близнецы}}^\infty\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}\right)$ сходится.
P.S. Пожалуйста, не кидайте ссылки на решение сразу!

[RIP]

Вы знаете простое док-во последнего утверждения? Помню, как-то на первом курсе я слушал спецкурс. Там док-во этого факта заняло несколько лекций.
По поводу первой задачи. Докажите тогда уж, что

$$\sum_{p\leqslant x}\frac1p=\ln\ln x+const+O\left(\frac1{\ln x}\right)$$

[Lion]

Простое доказательство второго утверждения мне неизвестно. Но мне также не были известны простые решения многих других задач, предлагаемых на этом форуме. И тем не менее, многие задачи, которые мне казались практически нерешаемыми, были решены в несколько строк. Кто знает, может, есть и простое доказательство второго утверждения?

[RIP]

Вот интересно, можно ли каким-нибудь "естественным" образом выделить подмножество $\mathcal{P}$ в множестве простых чисел, чтобы выполнялось

$$\sum_{p\leqslant x,p\in\mathcal{P}}\frac1p\sim\ln\ln\ln x,\quad x\to\infty.$$

Добавлено спустя 48 минут 40 секунд:

Lion писал(а):

Кто знает, может, есть и простое доказательство второго утверждения?

Да, зря я сказал, что это сложно. Глядишь, кто-нибудь, не зная этого, нашел бы простое решение
В принципе, док-во В.Бруна несложно в идейном плане, но вот технически...

[maxal]

Доказательство первого соотношения у нас уместилось в одной (самой первой!) лекции по Комбинаторной Теории Чисел, причем как вспомогательный результат. Вот эта лекция:
http://www.math.ucsd.edu/~vanvu/262/section1-1.pdf

Там же доказано более интересное соотношение (Lemma 2.6):

$$\sum_{p\leq n} \frac{\ln p}{p} = \ln n + O(1).$$

Добавлено спустя 11 минут 34 секунды:

Как справедливо заметил RIP, в формулировке Lemma 2.6 там присутствует опечатка в виде лишнего $\ln.$

[RIP]

Замечу, что расходимость ряда можно доказать совершенно другим (действительно простым) способом (придуманным Эйлером, если не ошибаюсь). Если вдруг кто не знает такого способа, рекомендую подумать.

[Mathemt]

Раз уж зашла речь, в частности, о расходимости суммы обратных простых, добавлю свои 3 копейки касательно гораздо более простого факта - бесконечности множества простых. Какие доказательства этого факта вам известны? Мне известны минимум 6 разных доказательств.

2 RIP: точно! Только не Эйлером, а Мертенсом (вытекает из финитной версии тождества Эйлера). Эйлер доказал только счетность множества простых.

[RIP]

Mathemt писал(а):

Раз уж зашла речь, в частности, о расходимости суммы обратных простых, добавлю свои 3 копейки касательно гораздо более простого факта - бесконечности множества простых. Какие доказательства этого факта вам известны? Мне известны минимум 6 разных доказательств.

Я сходу вспомнил только 4 штуки. Считаю только простые, не использующие оценки Чебышёва, асимптотический закон распределения простых или формулы, выписанные выше.

Добавлено спустя 2 минуты 25 секунд:

Хотя формула

$$\sum_{p\leqslant x}\frac{\ln p}p\geqslant\ln x+O(1)$$

легко доказывается, так что можно это считать пятым доквом.

Добавлено спустя 21 минуту 23 секунды:

Приведу еще док-во (я его не посчитал), которое мне ОЧЕНЬ нравится. На самом деле, это докво оценки Чебышёва снизу для $\psi(x).$
Пусть $D_n=[1,2,\ldots,n]$, где квадратные скобки означают Н.О.К. Если бы простых было конечное число, то $\ln D_n=\sum_{p\leqslant n}\lfloor\frac{\ln n}{\ln p}\rfloor\ln p\leqslant \sum_{p\leqslant n}\ln n=O(\ln n)$.
А теперь начинаются чудеса.
Рассмотрим интеграл

$$I_n=\int_0^1x^n(1-x)^ndx.$$

Очевидно, $I_n\le(\frac14)^n$.
С другой стороны, если раскрыть скобки и проинтегрировать почленно, то получим, что $I_n$ есть сумма рациональных дробей со знаменателями, не превосходящими $2n+1$. Поскольку $I_n>0$, то $I_n\ge\frac1{D_{2n+1}}\ge\exp\{-C\ln n\}=\frac1{n^C}$. Неувязочка.

[Mathemt]

Да, мне тоже понравилось. Еще - доказательство Эвклида, иррациональность дзеты при z=2, доказательство Полиа (из взаимной попарной простоты чисел Ферма), доказательство Эрдёша, доказательство самого Эйлера из его гениальной формулы, а также финитная модификация этого же доказательства от Мертенса. Кто больше?

[RIP]

Mathemt писал(а):

доказательство Полиа (из взаимной попарной простоты чисел Ферма

Блин, ведь чувствовал, что что-то забыл.

Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд:

Mathemt писал(а):

доказательство Эрдёша

А это как?

[Mathemt]

Отвечаю с задержкой, т.к. боролся с тегом math (у меня нет TeX).

Вот так:

Fix $x$ and consider the primes $P_1,...,P_n\leqslant\ x$. Since every integer is the product of a perfect square and a squarefree number, one can write every integer $m\leqslant\ x$ as $m=P_1^e_1 ... P_n^e_n Q^2$, where $e_i\in \{0,1\}$ and $Q^2\leqslant\ x$. There are $2^n$ choices for the $e_i$ and $\sqrt x$ choices for $Q$, so it follows that $n\geqslant \frac{\ln x} {2 \ln 2}$ .

Вообще-то есть и другой вариант, не настолько тонкий. Я его почему-то не видел, хотя не может быть, чтобы его никто не придумал (или я ошибся):

Пусть множество простых конечно и его мощность равна $n$. Рассмотрим разложение числа $X$ с участием всех этих простых (некоторые показатели степеней могут быть равны нулю): $X=P_1^e_1 ... P_n^e_n$. Очевидно, $e_i \leqslant\ \frac{\ln X} { \ln P_i}$. Следовательно, всех целых чисел, меньших $X$, имеется не более $\frac {{(\ln X)}^n} {\prod \ln P_i}$. Знаменатель - это константа, а числитель при достаточно больших $X$ растет медленнее $X$, так как $n$ - это тоже константа.

[RIP]

4 док-ва, кот. я имел в виду: Евклид, Эйлер, Эрдёш (не знал, что это его док-во, причем мне оно было известно именно во втором варианте) и вот это
Пусть $2,3,\ldots,p$ - все простые. Расмотрим число $n=2\cdot3\ldots p$. Тогда $\varphi(n)=(2-1)(3-1)\ldots(p-1)$, а с другой стороны, $\varphi(n)=1$, т.к. только $1$ вз. проста с $n$. Противоречие.

[Lion]

Здесь приведено аж 19 (!!!) доказательств. Сейчас расскажу доказательство, которое мне нравится больше всех.

Введем на множестве целых чисел следующую топологию. Объявим открытыми множества, представимые в виде объединения бесконечных арифметических прогрессий. Аксиомы топологического пространства проверяются тривиально.
Рассмотрим множество $A_p=\{tp\mid t\in\mathbb{Z}\}$. Оно не только открыто, но и замкнуто, так как дополнение к нему является объединением открытых множеств $A_{p,i}=\{tp+i\mid t\in\mathbb{Z}\}$, $i=1,2,\ldots, p-1$. Если простых чисел конечное множество, то объединение конечного числа замкнутых множеств $B=\bigcup\limits_p A_p$ есть замкнутое множество. Любое число, отличное от 1 и -1, кратно некоторому простому числу, и, значит, принадлежит множеству В. Значит, $B=\mathbb{Z}\setminus \{-1,1\}$. Поэтому $\{-1,1\}$ есть открытое множество, что противоречит определению открытого множества.

Добавлено спустя 13 минут 14 секунд:

Есть еще один интересный вопрос о простых числах, а именно бесконечность множество простых чисел, содержащихся в арифметической прогрессии со взаимно простыми начальным членом и разностью (теорема Дирихле). Все известные мне доказательства достаточно сложны. Может ли кто-нибудь дать ссылку (или придумать) простое док-во?
Ну и на закуску предлагаю доказать частный случай теоремы Дирихле, а именно бесконечность множества простых вида $ak+1$.

[RIP]

Lion писал(а):

Есть еще один интересный вопрос о простых числах, а именно бесконечность множество простых чисел, содержащихся в арифметической прогрессии со взаимно простыми начальным членом и разностью (теорема Дирихле). Все известные мне доказательства достаточно сложны. Может ли кто-нибудь дать ссылку (или придумать) простое док-во?

Смотря что называть простым.
Насколько я знаю, все известные док-ва основаны на одной и той же идее, восходящей к Дирихле. Это работа с $L$-функциями. Единственная сложность в док-ве - доказать, что $L(1,\chi)\ne0$ для $\chi\ne\chi_0$. Проще всего это доказывается с помощью теории аналитических функций. Из всех известных мне доказательств то, которое читается в лекциях по теории чисел на мехмате, самое простое. Более того, лично я нахожу его простым, но не в том смысле, что его легко придумать, а в том, что его легко понять.

[yvanko]

А как доказать иррациональность дзеты от двух?