Закон сохранения импульса и функция Лагранжа.

[mr.and]

Мне на зачете попался следующий вопрос: «какому условию должна удовлетворять функция Лагранжа, чтобы имел место закон сохранения импульса».
Я:
Функция Лагранжа не должна изменяться при параллельном переносе, те L=SUM((m|v|^2)/2) - U(r1,r2...rk)=SUM((m|v|^2)/2) - U (r1+sa,.... rk+sa) (r=r+sa параллельный перенос, s=const, a –произвольный вектор). + Пишу вывод этого вопроса из Ландау, Лифшица (Т1, стр 25-26).
Препод:
Запишите ограничения, которым должна удовлетворять функция Лагранжа, чтобы выполнялся закон сохранения импульса.
Я:
Уже записал выше
Препод:
Ну… без r=r+sa (без параллельного переноса?).(И пишет “L=” , чтобы я продолжил)
Я:
Не очень понял… намекните о чем речь?
Препод:
При изменении начала координат лагранжиан не меняется, ну вот и запишите граничения, которым должна удовлетворять функция Лагранжа, чтобы выполнялся закон сохранения импульса. (и написал “L=”, те я ему должен написать чему равна функция Лагранжа, но я уже написал!)


Я в физике не силен. Подскажите, пожалуйста, что он от меня хочет увидеть???

[LynxGAV]

$L=\frac{1}{2}\sum\limits_i m_i {\dot {\vec r_i}}^2-V(|\vec r_i - \vec r_j|)$.
Увидели разницу?
Действительно, если $L(\vec r_i,\ \dot {\vec r_i},\ t)=L(\vec r_i+s\vec n,\ \dot {\vec r_i},\ t)$, то это обозначает, что пространство однородно и перенос системы на $s\vec n$ не изменяет уравнений движения. Такие переносы являются элементами группы Галилея. Расстояние между двумя точками не изменяется: $r_{12} = r_{12}'$ (проверьте, что это так).

Если что -- преподавателю привет.

PS Заглянула в книгу: хитрый Ландау не говорит, какой именно функцией Лагранжа пользуется. Но посмотрите параграф после второй формулы сверху на стр. 18 (1973 г. издания).