Найти спектр интегрального оператора в L2

[ezhik]

Найти спектр интегрального оператора в $L_2[0,1]$ с ядром $K(t,s)=\min(t,s)$.

[Oleg Zubelevich]

$\int_0^tsf(s)ds+t\int_t^1f(s)ds-\lambda f(t)=g(t)$
дифференцируем по $t$ дважды...
Сейчас набежит куча народу ,говорить, что функции из $L^2$ не дифференцируемы

[ezhik]

Oleg Zubelevich в сообщении #544116 писал(а):

$\int_0^tsf(s)ds+t\int_t^1f(s)ds-\lambda f(t)=g(t)$
дифференцируем по $t$ дважды...
Сейчас набежит куча народу ,говорить, что функции из $L^2$ не дифференцируемы

А потом что?

[ewert]

ezhik в сообщении #544126 писал(а):

А потом что?

Дифференцируйте дважды такое равенство: $\int\limits_0^tsf(s)ds+t\int_t^1f(s)ds=\lambda f(t)$. Получится такое простенькое дифуравнение. Потом из этого же равенства вытяните граничные условия. Получится нечто вроде задачи Штурма-Лиувилля, собственные числа которой считаются явно, и других собственных чисел быть не может. А поскольку они окажутся больше единички -- собственных чисел нет вообще.

Откуда и вывод: ничего этого делать не следует, а надо с самого начала доказывать нильпотентность этого оператора.

[Padawan]

ewert
Оператор компактный, самосопряженный -- спектр точечный + "0". Точечного нет, значит только "0".

[ewert]

Padawan в сообщении #544179 писал(а):

Точечного нет, значит только "0".

Да, чего-то глупость сморозил; и уже не помню, в каком именно месте прокололся. Конечно, нетривиального спектра не может не быть. Это -- оператор, обратный к минус оператору двукратного дифференцирования с условием Дирихле слева и Неймана справа, откуда сразу и спектр.

[hippie]

ewert в сообщении #544212 писал(а):

И уже не помню, в каком именно месте прокололся.

Вот в этом:

ewert в сообщении #544167 писал(а):

А поскольку они окажутся больше единички — собственных чисел нет вообще.

Собственные числа остаются собственными числами независимо от того, больше они единицы или меньше .

[ewert]

hippie в сообщении #544221 писал(а):

Собственные числа остаются собственными числами независимо от того, больше они единицы или меньше .

Зависимо: ведь норма-то этого оператора явно меньше единицы.

[hippie]

ewert в сообщении #544225 писал(а):

hippie в сообщении #544221 писал(а):

Собственные числа остаются собственными числами независимо от того, больше они единицы или меньше .

Зависимо: ведь норма-то этого оператора явно меньше единицы.

Раз выполнено равенство $Af=\lambda f,$ значит $\lambda$ — собственное число оператора $A$. И норма оператора здесь ни при чём.
А КАЖУЩЕЕСЯ противоречие возникло из-за того, что переходя к Штурму–Лиувиллю Вы упустили одну существенную деталь.
Объяснить какую? Или хотите разобраться сами?

[ewert]

hippie в сообщении #544250 писал(а):

И норма оператора здесь ни при чём.

Поскольку мы заранее знаем, что норма меньше единицы -- собственные числа ну никак не могут быть больше единицы.

hippie в сообщении #544250 писал(а):

А КАЖУЩЕЕСЯ противоречие возникло из-за того, что переходя к Штурму–Лиувиллю Вы упустили одну существенную деталь.

Вы никак не можете знать, что я упустил -- я ведь не выписывал никаких формул.

[hippie]

(цитата и покраснения удалены)

Подскажу.
Норма оператора МЕНЬШЕ единицы.
Значит ВСЕ собственные числа Штурма–Лиувилля должны быть БОЛЬШЕ единицы!

[ewert]

hippie в сообщении #544265 писал(а):

Значит ВСЕ собственные числа Штурма–Лиувилля должны быть БОЛЬШЕ единицы!

Они и получились больше единицы. Только я прокручивал всё это в уме и в какой-то момент значок второй производной не там поставил; или лишнее слагаемое написал -- говорю же, не помню. Поэтому и переход к обратному получился не тот.

[hippie]

Вы снова думаете о возможных ошибках в вычислениях. А ошибка совершенно в другом месте!

Собственные числа получившегося оператора Штурма–Лиувилля и осбственные числа исходного интегрального оператора — это разные числа.
Построенный дифференциальный оператор — обратный к исходному интегральному. Следовательно, его собственные числа — обратные к собственным числам исходного оператора. И, поскольку норма исходного интегрального оператора меньше 1, то все собственные числа построенного оператора Штурма–Лиувилля должны быть по модулю больше 1. (Более точно: поскольку исходный оператор положительный, то все собственные числа построенного оператора Штурма–Лиувилля положительны, и наименьшее из них равно единице делённой на норму исходного оператора.)

[AKM]

hippie

красный цвет зарезервирован для модераторов.
Возможно, в Правилах форума Вы найдёте ещё много чего интересного
(избыточное цитирование, например; ой, да чего там только нет! и, главное, всё разумно).

[ewert]

hippie в сообщении #544425 писал(а):

Вы снова думаете о возможных ошибках в вычислениях. А ошибка совершенно в другом месте!

Вы категорически отказываетесь думать, где и какой возможен был глюк. Что само по себе и приемлемо. Только вот: не хотите думать -- так и не самовыражайтесь.