Найти норму оператора.

[ezhik]

Найти норму оператора в $ L_2[-b,b]$:
a) $ Ax(t) = \int^t_{-b}x(s)ds$;
b) $ Ax(t) = \int^t_{0}x(s)ds$.

[Dan B-Yallay]

$$\int_{-b}^t x(s)ds = \int_{-b}^t1 \cdot x(s)ds \leqslant \Big(\int_{-b}^t 1^2ds\Big)^{1/2} \Big(\int_{-b}^tx^2ds\Big)^{1/2} \leqslant \ldots $$

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #544219 писал(а):

$$\int_{-b}^t x(s)ds = \int_{-b}^t1 \cdot x(s)ds \leqslant \Big(\int_{-b}^t 1^2ds\Big)^{1/2} \Big(\int_{-b}^tx^2ds\Big)^{1/2} \leqslant \ldots $$

Слишком грубо.

Надо рассмотреть оператор $A^*A$. Он самосопряжён и компактен, поэтому его норма -- это максимальное по модулю собственное число. А поскольку обратный к нему есть оператор Штурма-Лиувилля, спектр легко ищется.

Это в первом случае. Во втором проще всего, наверное, исходить из того, что всё пространство распадается в прямую сумму инвариантных для него подпространств: функций, носители которых сосредоточены в левой половине отрезка и функций с носителями в правой половине. А на каждой половине этот оператор действует примерно так же, как первый.

[Dan B-Yallay]

ewert в сообщении #544223 писал(а):

Слишком грубо.

Надо рассмотреть оператор $A^*A$. Он самосопряжён и компактен, поэтому его норма -- это максимальное по модулю собственное число. А поскольку обратный к нему есть оператор Штурма-Лиувилля, спектр легко ищется.

А я думаю, что это пушкой по воробью. Если ТС запнулся на таких задачках, то скорее всего, спектральную теорию операторов еще не проходил.
Хотя кто знает.

-- Чт мар 01, 2012 07:52:15 --

ewert
Только счас увидел соседнее сообщение автора. Вы правы.

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #544227 писал(а):

А я думаю, что это пушкой по воробью.

Ну уж не знаю. Как Вы своими оценками собираетесь вытаскивать $\pi$, входящую в ответ?...

[Dan B-Yallay]

$$\|Ax\|_{L^2}= \Big( \int_{-b}^b \Big(\int_{-b}^t x(s)ds\Big)^2dt\Big)^{1/2} \leqslant \Big(\int_{-b}^b 2b\|x\|^2_{L^2}dt \Big)^{1/2} \leqslant 2b\|x\|_{L^2}$$

Не вижу $\pi$. Ткните носом, где я чего упустил.

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #544245 писал(а):

Не вижу $\pi$.

И я не вижу. А ведь ответ-то: $\|A\|=\dfrac{4b}{\pi}$.

Вы зачем-то оцениваете норму вместо того, чтобы вычислять её. Но для оценивания совсем не нужно что-то там изобретать -- можно сходу выписать стандартную оценку сверху через норму Гильберта-Шмидта: $\|A\|<b\sqrt2$.

[Dan B-Yallay]

ewert
Дошло, спасибо.

[Oleg Zubelevich]

достаточно посчитать оба оператора на тригонометрическом базисе, ну не совсем стандартном тригонометрическом базисе :)

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #544267 писал(а):

достаточно посчитать оба оператора на тригонометрическом базисе, ну не совсем стандартном тригонометрическом базисе :)

Совершенно верно. А для нахождения подходящего базиса достаточно решить соответствующую задачу Штурма-Лиувилля.

[Oleg Zubelevich]

именно. Хорошо, что хоть в чем-то мы соглашаемся