Лирические числа

[Ktina]

Назовём натуральное число лирическим, если оно кратно каждой из сумм нескольких (возможно, одной) подрядыдущих идущих подряд цифр его десятичной записи.
Конечно или бесконечно множество всех лирических чисел?

[hippie]

Ответ: Конечно.

1. Если в числе есть ноль, то оно не может быть лирическим.
2. Если в числе не менее 10 цифр, то среди них найдётся несколько последовательных, сумма которых кратна 10 (известная задача на принцип Дирихле). И, следовательно, оно не может быть лирическим.

Q.e.d.

[Ktina]

hippie в сообщении #543686 писал(а):

(известная задача на принцип Дирихле).

У меня почти как у Вас:
Можно отдирихлить частичные суммы: $d_1, d_1+d_2, \dots , d_1+d_2+\dots +d_{11}$, где $d_n$ - энная цифра достаточно большого (не менее 11 знаков) числа. Хотя бы две из них дают равные остатки при делении на 10 - их разность является суммой нескольких подрядыдущих и кратна 10, значит и само число оканчивается на нуль. Противоречие.

[Dave]

Ktina в сообщении #543689 писал(а):

hippie в сообщении #543686 писал(а):

(известная задача на принцип Дирихле).

У меня почти как у Вас:
Можно отдирихлить частичные суммы: $d_1, d_1+d_2, \dots , d_1+d_2+\dots +d_{11}$, где $d_n$ - энная цифра достаточно большого (не менее 11 знаков) числа. Хотя бы две из них дают равные остатки при делении на 10 - их разность является суммой нескольких подрядыдущих и кратна 10, значит и само число оканчивается на нуль. Противоречие.

Одна маленькая хитрость состоит в том, что "отдирихлить" можно даже тогда, когда знаков только 10.
А задача, в которой обыгрывается "кратность нулю" (не десятке, а именно нулю), на мой взгляд, не является красивой.

[hippie]

Ktina в сообщении #543689 писал(а):

hippie в сообщении #543686 писал(а):

(известная задача на принцип Дирихле).

У меня почти как у Вас:
Можно отдирихлить частичные суммы: $d_1, d_1+d_2 ,\ \dots , d_1+d_2+\dots +d_{11}$, где $d_n$ - энная цифра достаточно большого (не менее 11 знаков) числа.

А пустую сумму Вы за что обидели ? Ведь может быть сумма и нуля слагаемых (по определению равная 0).
Таким образом дирихлить нужно суммы:
$0,\ d_1,\ d_1+d_2,\ \dots\ ,\ d_1+d_2+\dots +d_{10}.$

(Оффтоп)

Только вчера объяснял своим студентам, что при применении критерия Сильвестра ("обобщённого") нужно начинать с минора не $1\times 1,$ а $0\times 0.$