Разнораспределенные СВ и их сходимость к НР

[stat]

Как обычно обращаюсь за помощью к уважаемому сообществу.

Мои вопросы:

1)Представим, что существуют бесконечное число ящиков в которых всегда 10 шаров (белых и черных) но кол-во белых и черных шаров в каждом ящике может быть и различно. При этом если я достану черный шар то я записываю число "-1", если белый то "+1". И так я достаю шар из какого-то ящика, фиксирую число, беру следующий ящик, опять фиксирую число и т.д. очень много раз. Получил случайную последовательность.
Вопрос№1: эта случайная последовательность представляет из себя последовательность одинаково распределенных или разнораспределенных случайных величин и как это доказать исходя только из последовательности?
Вопрос№2: к чему будет стремится частота успеха("+1") при большом кол-ве испытаний ? Ведь вероятность успеха у нас каждый раз разная

2) Допустим у нас есть какое-то кол-во случайных величин распределенных нормально, но с различными параметрами, плюс у нас есть св распределенные по законам Леви с альфа больше 1 но меньше 2 или какими-то другими распределениями не имеющими конечных вторых моментов и может даже первых моментов. Опять я беру св из какого-то распределения и составляю случайную последовательность.
Вопрос№3: эта случайная последовательность представляет из себя последовательность одинаково распределенных или разнораспределенных случайных величин ?
Вопрос№4: будет ли сходится данная случайная последовательность к нормальному распределению ? То есть будет ли выполняться ЦПТ ?

Заранее благодарю за разъяснения

[_hum_]

Вы либо вопросы неточно формулируете, либо не совсем знакомы с основами тервера и мат. статистики. Различаете ли вы понятия "случайная величина" и "реализация (значение в опыте) случайной величины". Какие две случайные величины по-вашему называют одинаково распределенными?

[stat]

Спасибо что откликнулись.

С какими то основами знаком конечно. Например бернуллиевская св принимает два значения +1 и -1. Тогда она и в опыте принимает только эти два значения. Или что Вы имеете ввиду ? Если вероятность успеха у этой случайной величины постоянна , то такие величины я считал одинаково распределенными. Случайная последовательность нормально распределенных чисел распределена одинаково если они взяты из одного и того же распределения с одними и теми же параметрами. Я это так себе представлял.

[_hum_]

О-хо-хо...Может, лучше тогда все-таки открыть заново учебник и подробно изучить тему "случайные величины"? Тогда многие вопросы отпадут сами собой.

[stat]

Учебники всегда со мной, вот такое вот определение - "Случайная величина это переменная величина, которая в зависимости от случайного исхода испытания принимает какое-то одно из своих возможных значений. Числовое значение которое приняла СВ в каком либо конкретном испытании называется реализацией этой случайной величины". В учебники нет ни слова о том что такое разнораспределенные или неодинаково распределенные случайные величины. Поэтому я и решил спросить здесь.

[_hum_]

А в ваших испытаниях с ящиками можете указать пример хотя бы одной случайной величины? [тут важно осознавать, что из себя представляет одно испытание]

stat в сообщении #543346 писал(а):

В учебники нет ни слова о том что такое разнораспределенные или неодинаково распределенные случайные величины. Поэтому я и решил спросить здесь.

Две случайные величины называются одинаково распределенными, если их распределения вероятностей совпадают. Остается вспомнить, что такое распределение вероятностей и как их можно задать и сравнить.

[stat]

_hum_ в сообщении #543357 писал(а):

А в ваших испытаниях с ящиками можете указать пример хотя бы одной случайной величины? [тут важно осознавать, что из себя представляет одно испытание]

Цвет шара. Белый или черный. Мы не знаем какой точно цвет шара мы достанем из ящика. Состав шаров в ящике нам неизвестен, но мы знаем что их всего 10. Если мы вытащим черный шар то я придам этому цвету числовое значение "-1",если белый то "+1". Вот это для меня и есть реализация случайной величины. Затем я подхожу к ящику в котором состав шаров отличен от того что был в предыдущем ящике и т.д. То есть я не черпаю шары из одной модели(одного ящика), модели каждый раз разные.

Цитата:

Две случайные величины называются одинаково распределенными, если их распределения вероятностей совпадают. Остается вспомнить, что такое распределение вероятностей и как их можно задать и сравнить.

Есть ряд распределения, ф-ция вероятности, плотности. Это я все знаю. Но у меня есть только случайная последовательность, я не знаю что эксперимент проводится с подменой ящиков, с подменой распределений с подменой на каждом шаге вероятностной модели.

Или Вы намекаете мне, что независимо от вероятности успеха в схеме Бернулли и независимо от отличий в параметрах одних и тех же распределений последовательность СВ полученная из этих распределений будет называться одинаково распределенной ? И только в том случае когда функции вероятности СВ не совпадают тогда они называются разнораспределенными ?

[_hum_]

stat в сообщении #543417 писал(а):

Цвет шара. Белый или черный. Мы не знаем какой точно цвет шара мы достанем из ящика.

Какого именно шара, ведь доставаемых шаров много (на каждом шаге свой)?

Ладно, давайте, может, так. На такую ситуацию, как у вас (с многими экспериментами), можно смотреть двояко:

a) берется 1-ый ящик, проводится эксперимент по доставанию шара; затем берется 2-ой ящик и проводится (второй) эксперимент по вытаскиванию шара и т.д. Здесь много экспериментов и в каждом из них своя случайная величина.

b) выстраиваются в ряд все ящики, к каждому из них приставляется отдельный человек, и по сигналу все они одновременно достают шары. Это один большой эксперимент, а результатом (исходом) его является длинный ряд чисел, отвечающих за вытянутый шар из каждого ящика.

Эти два взгляда эквивалентны, просто второй более удобен с точки зрения математического описания - в нем не возникает путаницы (как в вашем случае) с тем, что будто бы на каждом шаге что-то там меняется, поскольку самих шагов нет.

Итак, пользуясь этим вторым подходом, опишите конкретно случайные величины, участвующие в вашей задаче, по образцу:
$\xi_i$ - случайная величина, принимающая значение такое-то, если в исходе эксперимента [не забываем про то, что он из себя представляет!] наблюдается то-то [считайте, что вы должны задать правило, с помощью которого экпериментатор на основе имеющегося у него конкретного исхода эксперимента сможет определить, какое же конкретно значение приняла случайная величина $\xi_i$].

[--mS--]

stat в сообщении #543265 писал(а):

Вопрос№1: эта случайная последовательность представляет из себя последовательность одинаково распределенных или разнораспределенных случайных величин и как это доказать исходя только из последовательности?

Что-то я не поняла ничего из прошедшего обсуждения. Поэтому ответ из арсенала КО. Из Вашего вопроса не очень понятно, идёт ли речь о последовательности случайных величин, или о реализации этой последовательности. До того, как Вы написали последовательность единичек или минус единичек, - т.е. когда только собираетесь её писать, - будущая последовательность случайных величин представляет из себя последовательность одинаково распределённых величин, если доля белых шаров в ящиках одна и та же, и разнораспределённых, если разная. После того, как Вы написали последовательность, это уже не последовательность случайных величин, а лишь одна её реализация, и вопрос об одинаковой распределённости бессмысленен. Можно, конечно, ставить вопрос о проверке статистической гипотезы по данной числовой выборке - надо придумывать или искать критерии, проверяющие однородность в последовательности бернуллиевских случайных величин, и подставлять в них данную выборку.

stat в сообщении #543265 писал(а):

Вопрос№2: к чему будет стремится частота успеха("+1") при большом кол-ве испытаний ? Ведь вероятность успеха у нас каждый раз разная

В схеме Бернулли закон больших чисел имеет место и для разнораспределённых величин, просто в силу ограниченности их дисперсий. Поэтому разность $\frac{X_1+\ldots+X_n}{n}-\frac{p_1+\ldots+p_n}{n}$ по вероятности сходится к нулю. Т.е. вероятность увидеть эту разность за пределами интервала $(-\varepsilon, +\varepsilon)$ уменьшается с ростом $n$ до нуля, какое бы $\varepsilon$ ни взять. Однако, даже если эта вероятность станет нулевая, это не будет означать, что сходимость выполняется на каждом элементарном исходе (для каждой реализации последовательности случайных величин). Хотя обычно в практической статистике с такими возможностями не считаются, а полагают, что имеют место с "типичной" реализацией, на которой все законы выполняются. Это относится и к первому вопросу.

[stat]

Хорошо я попытаюсь описать как Вы требуете.

$\xi_i$ - это случайная величина, она принимает только два значения "+1" и "-1" в зависимости от того какой наступил элементарный исход. Если экспериментатор достанет из ящика Черный шар он должен записать число "-1", если Белый Шар тогда он должен записать число "+1".
$i$ - это элементарный исход СВ. Их может быть только два - (Белый шар,Черный шар)

P(Белый шар) -вероятность события достать Белый шар. Для каждого ящика эта вероятность своя. Ящики с одинаковыми вероятностями наступления события "Белый шар" или "Черный шар" могут повторяться.

Экспериментаторы стали каждый возле своего ящика, по команде каждый достал шар из ящика, все записали числа соответствующие их исходу.

У нас получилась последовательность значений которые принимала наша случайная величина $\xi_i$.

Эта последовательность одинаково распределенных СВ ?

-- Вт фев 28, 2012 14:28:25 --

--mS-- в сообщении #543472 писал(а):

stat в сообщении #543265 писал(а):

Вопрос№1: эта случайная последовательность представляет из себя последовательность одинаково распределенных или разнораспределенных случайных величин и как это доказать исходя только из последовательности?

Что-то я не поняла ничего из прошедшего обсуждения. Поэтому ответ из арсенала КО. Из Вашего вопроса не очень понятно, идёт ли речь о последовательности случайных величин, или о реализации этой последовательности. До того, как Вы написали последовательность единичек или минус единичек, - т.е. когда только собираетесь её писать, - будущая последовательность случайных величин представляет из себя последовательность одинаково распределённых величин, если доля белых шаров в ящиках одна и та же, и разнораспределённых, если разная. После того, как Вы написали последовательность, это уже не последовательность случайных величин, а лишь одна её реализация, и вопрос об одинаковой распределённости бессмысленен. Можно, конечно, ставить вопрос о проверке статистической гипотезы по данной числовой выборке - надо придумывать или искать критерии, проверяющие однородность в последовательности бернуллиевских случайных величин, и подставлять в них данную выборку.

stat в сообщении #543265 писал(а):

Вопрос№2: к чему будет стремится частота успеха("+1") при большом кол-ве испытаний ? Ведь вероятность успеха у нас каждый раз разная

В схеме Бернулли закон больших чисел имеет место и для разнораспределённых величин, просто в силу ограниченности их дисперсий. Поэтому разность $\frac{X_1+\ldots+X_n}{n}-\frac{p_1+\ldots+p_n}{n}$ по вероятности сходится к нулю. Т.е. вероятность увидеть эту разность за пределами интервала $(-\varepsilon, +\varepsilon)$ уменьшается с ростом $n$ до нуля, какое бы $\varepsilon$ ни взять. Однако, даже если эта вероятность станет нулевая, это не будет означать, что сходимость выполняется на каждом элементарном исходе (для каждой реализации последовательности случайных величин). Хотя обычно в практической статистике с такими возможностями не считаются, а полагают, что имеют место с "типичной" реализацией, на которой все законы выполняются. Это относится и к первому вопросу.

Спасибо, что откликнулись...кажется я начинаю понимать и мне кажется что Вы поняли что я пытался спросить.

Значит все таки не зря меня терзали сомнения. Получается одинаково распределенные СВ предполагают постоянство параметров их вероятностной модели для каждого эксперимента. Но то что ЗБЧ для такой схемы Бернулли работает это конечно удивительно(для меня).

А с вопросом №4 не поможете ?

[_hum_]

stat в сообщении #543479 писал(а):

Хорошо я попытаюсь описать как Вы требуете.

$\xi_i$ - это случайная величина, она принимает только два значения "+1" и "-1" в зависимости от того какой наступил элементарный исход. Если экспериментатор достанет из ящика Черный шар он должен записать число "-1", если Белый Шар тогда он должен записать число "+1".

stat, вы меня не слушаете. Вы опять привели общие фразы - непонятно, про какой именно вытаскиваемый шар идет речь. Давайте так. Вот пример:
Пример. Эксперимент состоит в том, что два человека одновременно бросают по одной игральной кости. Тогда каждый исход $\omega$ эксперимента может быть записан в виде $\omega = (m_1,m_2)$, где $m_1,m_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}$; в качестве некоторых вариантов случайных величин могут быть рассмотрены
\begin{align*} &\xi_1(\omega) = \begin{cases} 0, \text{ если } m_1 - \text{четное},\\ 1, \text{ иначе}. \end{cases}\\ &\xi_2(\omega) = \begin{cases} 1, \text{ если } m_2 > 3,\\ 0, \text{ иначе}. \end{cases}\\ &\xi_3(\omega) = \begin{cases} 1, \text{ если } m_2 > 5,\\ 0, \text{ иначе}. \end{cases}\\ &\xi_4(\omega) = \begin{cases} 1, \text{ если } m_1 = m_2,\\ 0, \text{ иначе}. \end{cases}\\ &\xi_5(\omega) = \begin{cases} -1, \text{ если } m_2 > 3,\\ 1, \text{ иначе}. \end{cases}\\ &\xi_6(\omega) = \max\{m_1, m_2\}. \end{align*}

Укажите, какие из этих с.в. будут одинаково распределенными и почему.

После чего в таком же виде представьте вашу задачу:
1) укажите исходы эксперимента
2) укажите случайные величины, интересующие вас в этом эксперименте.
3) сравните их распределения и сделайте заключение.

[--mS--]

stat в сообщении #543479 писал(а):

Получается одинаково распределенные СВ предполагают постоянство параметров их вероятностной модели для каждого эксперимента. Но то что ЗБЧ для такой схемы Бернулли работает это конечно удивительно(для меня).

А с вопросом №4 не поможете ?

Разумеется. Распределение - это набор вероятностей попадания величины в множества (интервалы, точки etc, вообще борелевские). Для данных радемахеровских величин оно описывается вероятностями равняться $\pm1$, или просто вероятностью попасть в единицу. Одинаковое распределение - это когда оно одинаково :)

Ну, что ЗБЧ работает - это не фокус: пусть $\mathsf P(X_i=1)=1-\mathsf P(X_i=0)=p_i$, $\mathsf EX_i=p_i$, $\mathsf DX_i=p_i(1-p_i)\leq \frac14$. По неравенству Чебышёва для любого $\varepsilon > 0$

$$\mathsf P\left(\left|\frac{X_1+\ldots+X_n}{n}-\frac{p_1+\ldots+p_n}{n}\right|\geqslant \varepsilon \right) \leqslant \frac{\mathsf D(X_1+\ldots+X_n)}{n^2\varepsilon^2}= \frac{\sum_1^n p_i(1-p_i)}{n^2\varepsilon^2}\leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}\to 0.$$

По 4-му вопросу - т.е. у Вас в последовательности несколько нормальных, а остальные из каких попало устойчивых распределений без матожидания? Очень сомнительно, чтобы были хоть какие-то шансы на выполнение ЦПТ. Можете посмотреть, например, параграф 4 гл. IV книжки В.В.Петрова "Предельные теоремы для сумм независимых с.в.", в частности, теорему 18.

[stat]

_hum_ в сообщении #543520 писал(а):

Укажите, какие из этих с.в. будут одинаково распределенными и почему.

Одинаково распределены
1) СВ 1 и 2 .
2) СВ 3 и 4.
Так как у них совпадают значения которые может принимать СВ и вероятность наступления успеха

СВ 5 принимает значение "-1" которое не принимают СВ 1 и 2 поэтому мы не относим ее ни к первому ни ко второму пункту,хотя вероятность успеха у нее одинакова и равна $P(1)= 0.5$

СВ 6 принимает значения 1,2,3,4,5,6 с вероятностями $P(1)= 1/36$,$P(2)= 3/36$,$P(3)= 5/36$,$P(4)= 7/36$,$P(5)= 9/36$,$P(6)= 11/36$. И ее мы тоже не можем отнести ни к первому ни ко второму пункту.

Разнораспределенными СВ будут $\xi_1(\omega)$,$\xi_3(\omega)$,$\xi_5(\omega)$ и$\xi_6(\omega)$

_hum_ в сообщении #543520 писал(а):

После чего в таком же виде представьте вашу задачу:
1) укажите исходы эксперимента
2) укажите случайные величины, интересующие вас в этом эксперименте.
3) сравните их распределения и сделайте заключение.

Эксперимент состоит в следующем. Есть 100 ящиков. В них лежат всегда 10 шаров. Шары в этих ящиках могут быть только черными или белыми. Состав шаров в этих ящиках мне неизвестен. Я достаю один шар, и тогда пусть исход $\omega$ первого эксперимента может быть записан в виде $\omega=(m)$ , где m\in $\lbrace$ $\text{Б,Б,Б,Б,Б,Б,Б,Б,Б,Ч}$ $\rbrace$. Так я получаю первую случайную величину:

$$ \xi_1(\omega)=\begin{cases} 1,&\text{если $m=$ Б,}\\ -1,&\text{если $m=$ Ч.} \end{cases} $$

Теперь пусть m\in $\lbrace$ $\text{Б,Б,Б,Б,Б,Б,Б,Б,Ч,Ч}$ $\rbrace$, тогда я получаю вторую св:

$$ \xi_2(\omega)=\begin{cases} 1,&\text{если $m=$ Б,}\\ -1,&\text{если $m=$ Ч.} \end{cases} $$

и т.д.

Так как мне уже подсказали то получается что последовательность таких св не может называться одинаково распределенной.

-- Вт фев 28, 2012 21:19:59 --

--mS-- в сообщении #543574 писал(а):

По 4-му вопросу - т.е. у Вас в последовательности несколько нормальных, а остальные из каких попало устойчивых распределений без матожидания? Очень сомнительно, чтобы были хоть какие-то шансы на выполнение ЦПТ. Можете посмотреть, например, параграф 4 гл. IV книжки В.В.Петрова "Предельные теоремы для сумм независимых с.в.", в частности, теорему 18.

Да, часть нормальных, часть таких что могут не иметь дисперсии, часть таких что могут не иметь мат.ожидания. Просто у Ширяева во втором томе "Вероятность-2" есть центральная предельная теорема для сумм зависимых св где несмотря на то что св не имеют конечных моментов все равно их последовательность сходится к нормальному распределению. Петрова открыл и могу сказать что для меня пока все это китайская грамота, как и тот же Феллер или Ширяев. Это для очень продвинутых специалистов, мне еще идти и идти к этому

[_hum_]

stat в сообщении #543631 писал(а):

Эксперимент состоит в следующем. Есть 100 ящиков. В них лежат всегда 10 шаров. Шары в этих ящиках могут быть только черными или белыми. Состав шаров в этих ящиках мне неизвестен. Я достаю один шар, и тогда пусть исход $\omega$ первого эксперимента может быть записан в виде $\omega=(m)$ , где m\in $\lbrace$ $\text{Б,Б,Б,Б,Б,Б,Б,Б,Б,Ч}$ $\rbrace$.

Извиняюсь, вы с математическим анализом знакомы? Просто выражения
"$\omega=(m)$" и "m\in $\lbrace$ $\text{Б,Б,Б,Б,Б,Б,Б,Б,Б,Ч}$ $\rbrace$" математически бессмысленны.
И я уже выше говорил, что следует рассматривать в качестве эксперимента не последовательные вытягивания из ящиков (которые постоянно вас путают), а большой эксперимент с одним единственным произведенным одновременно многими людьми вытягиванием.

[stat]

С мат.анализом знаком, правда все равно не знаю как правильно математически описать этот эксперимент.

Спасибо что пытались мне помочь