Найти норму линейного непрерывного функционала

[Alfucio]

Здравствуйте!

Дано семейство функционалов:
${f_\varepsilon }\left( x \right) = \frac{1}{{2\varepsilon }}\left( {x\left( \varepsilon \right) + x\left( { - \varepsilon } \right) - 2x\left( 0 \right)} \right);x \in {C^1}[ - 1;1];0 < \varepsilon \le 1$

Норма в пространстве:
$\left\| x \right\| = \max \left| {x\left( t \right)} \right| + \max \left| {x'\left( t \right)} \right|,t \in [ - 1;1]$
(вроде бы проверяли и это действительно норма).

(До этого рассматривался случай $\[x \in {C^0}[ - 1;1],\left\| x \right\| = \max \left| {x\left( t \right)} \right|,t \in [ - 1;1]\]$, тогда $\[\left\| {{f_\varepsilon }} \right\| = \frac{2}{\varepsilon }\]$.)

Получилось ограничить $\[\left| {{f_\varepsilon }\left( x \right)} \right|\]$ через теорему Лагранжа:
$\[\left| {{f_\varepsilon }\left( x \right)} \right| = \frac{1}{2}\left| {x'\left( {{\theta _1}} \right) - x'\left( {{\theta _2}} \right)} \right| \le {\left\| {x'} \right\|_C} = \max \left| {x'\left( t \right)} \right| \le 1 \cdot {\left\| x \right\|_{{C^1}[ - 1;1]}}\]$

Тогда по одной из теорем получается, что $\[\left\| {{f_\varepsilon }\left( x \right)} \right\| < 1\]$. Но найти функцию или последовательность функций, которая подтверждала бы это это найти не удалось. Поэтому или оценка слишком грубая или плохо искал.

Подскажите, пожалуйста, что можно попробовать сделать?

[ewert]

Ваши функционалы -- это конечноразностные вторые производные в нуле. В то время как норма контролирует лишь первые производные и не более того. Ну и с чего бы это ей контролировать вторые?...

[Alfucio]

Возможно, я неправильно понимаю. Но вот мои рассуждения:

Функционал ограничен нормой функции, которую он принимает как аргумент: $\[\left| {f\left( x \right)} \right| \le \operatorname{const}{\left\| x \right\|_{{C^1}}}\]$.

Норма функционала может быть найдена следующим образом:
$\[\left\| {f\left( x \right)} \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| \ne 0} \frac{{\left| {f\left( x \right)} \right|}}{{\left\| x \right\|}}\]$.

Тогда мои рассуждения верны, как мне кажется, и так рассуждать можно пытаться. Единственное, оценка может быть грубой.

[hippie]

Ответ: $||f|| = \frac 2{2+\varepsilon}.$

Рассуждения правильные, но оценивая $||x||_{C^1}$ Вы учли только производную. Поэтому оценка оказалась слишком грубой.

Пусть $|f(x)|=1.$
Тогда $|x(-\varepsilon)|+|x(\varepsilon)|+2|x(0)| \ge |x(-\varepsilon)+x(\varepsilon)-2f(0)| = 2\varepsilon.$ Следовательно $\max|x(t)|\ge \frac \varepsilon 2 .$
Аналогично $|x(-\varepsilon)-x(0)|+|x(\varepsilon)-x(0)| \ge |x(-\varepsilon)+x(\varepsilon)-2f(0)| = 2\varepsilon.$ Поэтому, по теореме Лагранжа, $\max|x'(t)|\ge 1.$
Следовательно, в этом случае, $||x||_{C^1}\ge 1+\frac \varepsilon 2 .$
Таким образом, $||f||\ge \frac 1{1+\frac \varepsilon 2} = \frac 2{2+\varepsilon}.$
Пример последовательности, надеюсь, сможете построить сами.

[Alfucio]

Да, спасибо Вам большое, все получилось!

Единственное, знак противоположный: $\[\left\| f \right\| \le \frac{2}{{2 + \varepsilon }}\]$.