Система нелинейных уравнений, численное решение

[Mig29]

Подскажите пожалуйста алгоритм численного решения систем нелинейных уравнений вида $ \begin{array}{*{20}c} {\sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{m = 1}^N {a_{nmk} x_n x_m } = b_k } } & {k = 1,...,N} \\ \end{array} $

[mserg]

Похоже, что в общем случае – это труднорешаемая задача. Методы локального поиска могут и не привести к решению; а решений может быть несколько. В самописные программы я не верю, а поискать готовые пакеты можно по ключевым словам:
* Нелинейное программирование
* Невыпуклое нелинейное программирование
* Метод внутренней точки
* Глобальная оптимизация
Можно посмотреть пакеты ipopt и bonmin

[Mig29]

На самом деле мне нужно решить менее сложную задачу. Найти все решения следующей системы $ \begin{array}{*{20}c} {\begin{array}{*{20}c} {\sum\limits_{k = 1}^N {x_{nk} x_{mk} } = \mu _n \delta _{nm} } & {n = 1,...,N} \\ \end{array}} & {m = 1,...,N} \\ \end{array} $

mserg в сообщении #543497 писал(а):

Похоже, что в общем случае – это труднорешаемая задача. Методы локального поиска могут и не привести к решению; а решений может быть несколько.

Точечные методы (например метода Ньютона) здесь не пойду, так как здесь множество решений. Я знаю что существуют методы нахождения всех нулей для одномерных полиномов. Если подобные методы для многомерных полиномов?

[mserg]

Есть «методы» на основе интервального анализа. Только не следует рассчитывать на большую размерность задачи.

Аналитически ничего не получается? Переменные не ограничены? Справа – константы ведь?

[mihiv]

Mig29 в сообщении #543518 писал(а):

На самом деле мне нужно решить менее сложную задачу. Найти все решения следующей системы $ \begin{array}{*{20}c} {\begin{array}{*{20}c} {\sum\limits_{k = 1}^N {x_{nk} x_{mk} } = \mu _n \delta _{nm} } & {n = 1,...,N} \\ \end{array}} & {m = 1,...,N} \\ \end{array} $

Рассмотрим случай,когда все $\mu _n>0$.Тогда приведенная система уравнений(с точностью до множителя) есть не что иное,как условия,которым удовлетворяют матричные элементы строк ортогональной матрицы.Поэтому решение системы можно искать так:берем произвольную ортогональную матрицу $Q$ и умножаем элементы $i-$-ой строки на $\sqrt {\mu_i}$,элементы полученной в результате матрицы $X$ и будут решением системы.Смущает здесь то,что т.к. множество ортогональных матриц бесконечно,то система имеет бесконечное число решений.

[Mig29]

mihiv в сообщении #543779 писал(а):

Смущает здесь то,что т.к. множество ортогональных матриц бесконечно,то система имеет бесконечное число решений.

Вы правы. Об этом я не подумал. Опишу изначальную задачу возможно она тоже не имеет бесчисленное число решений. Есть комплексная матрица $R$ размером $N \times N$ имеющая свойство $R = R^H$ ($H$ - транспонирование с комплексным сопряжением). Необходимо найти комплексную матрицу $X$ такого же размера, такую что $R = X X^H$.

[Евгений Машеров]

То есть Вы квадратный корень из матрицы извлекаете?

-- 29 фев 2012, 18:11 --

Из эрмитовой, причём.

[Mig29]

Да так и есть. Только мне нужны разные решения

[Евгений Машеров]

Найдите любое и умножьте на ортогональную матрицу.