2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 2-я вариация (физика): достаточное условие положительности
Сообщение27.02.2012, 15:40 
Аватара пользователя
Уважаемые специалисты по математике и матфизике, кто может подсказать каков критерий положительности данной формы? Условия на функции - обычные условия, используемые в физике (это некоторые "функции распределения"). Вариация производиться при условии, что в среднем по объему она равна нулю. Каждое интегрирование - по трехмерному пространству. Заранее спасибо.

$
\\
\delta^2\mathcal{W} = \int \limits_{V}\mathcal{F}^{(1)}(\bm{r}_1) [\delta v(\bm{r}_1)]^2 d\bm{r}_1 + \int \limits_{V}\mathcal{F}^{(2)}(\bm{r}_1, \bm{r}_2) \delta v(\bm{r}_1)\delta v(\bm{r}_2) d\bm{r}_1 d\bm{r}_2\\
$

 
 
 
 Re: 2-я вариация (физика): достаточное условие положительности
Сообщение27.02.2012, 19:19 
Например,$\mathcal F^{(1)}(r_1)>0,\mathcal F^{(2)}(r_1,r_2)=const.$

 
 
 
 Re: 2-я вариация (физика): достаточное условие положительности
Сообщение27.02.2012, 20:33 
Аватара пользователя
Я понимаю вашу мысль: это действительно достаточно. Но в вариационном исчислении под достаточным условием обычно понимают не банальность, а нечто близкое к необходимости. Тривиальности не интересуют. Например, если вам интересно, гляньте критерий Веерштрассе - он является достаточным, но для другой задачи. В то же время, он не банален. Иными словами, и это было очевидно, если говорить не о букве, а о сути, требуется хорошая достаточность.

 
 
 
 Re: 2-я вариация (физика): достаточное условие положительности
Сообщение28.02.2012, 09:41 
Аватара пользователя
Может быть существенно, что функция первого ранга по условию всегда положительна, а второго - симметрична по перестановке индексов и зависит от модуля разницы радиус-векторов.

 
 
 
 Re: 2-я вариация (физика): достаточное условие положительности
Сообщение28.02.2012, 11:50 

(Оффтоп)

zask в сообщении #543274 писал(а):
требуется хорошая достаточность.

Довольно размытый критерий.В конечном счете нам нужно выделить некоторый класс функций.

Могу предложить еще такое условие(тоже простое):$\mathcal F^{(1)}(r_1)-\int \limits _V|\mathcal F^{(2)}(|r_2-r_1|)|dr_2\geqslant 0$

 
 
 
 Re: 2-я вариация (физика): достаточное условие положительности
Сообщение28.02.2012, 13:55 
Аватара пользователя
Это уже гораздо веселее, спасибо! Сейчас буду пробовать этот вариант. Похоже, что-то близкое к мишени.

====

С небольшой модернизацией что-то вроде получается (знак + перед интегралом.) Не до конца пока понял важна ли положительность второй функции. Она, к сожалению знакопеременна.

 
 
 
 Re: 2-я вариация (физика): достаточное условие положительности
Сообщение28.02.2012, 18:05 
Аватара пользователя
Не заметил модуля под интегралом. Это не пойдет - слишком грубая оценка. Для этих функций существует такое условие

$\begin{equation}
\mathcal{F}^{(1)}(\bm{r}_1) + \int \limits_{V}\mathcal{F}^{(2)}(\bm{r}_1, \bm{r}_2)  d\bm{r}_2 > 0 \nonumber.
\end{equation}$

-- 28.02.2012, 22:28 --

Продвигаюсь пока сам: из последнего условия следует, что для длинноволновых $\delta v$ теорема верна. В пределе очень коротких, вероятно, тоже, поскольку $\delta v$ становиться быстро осциллирующей функцией и зануляет второй член. Первый же член в силу квадратичности $\delta v$ сохраняется и поскольку первая функция положительна, теорема также верна.

Как доказать в общем случае пока не пойму.

 
 
 
 Re: 2-я вариация (физика): достаточное условие положительности
Сообщение29.02.2012, 00:30 
Аватара пользователя
Нашел вариант решения, хотя и с другой стороны. Но в данной постановке задача также представляет интерес. Если кто найдет ответ или натолкнет на продуктивную идею - буду признателен.

 
 
 
 Re: 2-я вариация (физика): достаточное условие положительности
Сообщение29.02.2012, 11:07 
Легко убедиться,что

$
\\
 \int \limits_{V}\mathcal{F}^{(2)}(\bm{r}_1, \bm{r}_2) \delta v(\bm{r}_1)\delta v(\bm{r}_2) d\bm{r}_1 d\bm{r}_2\\
$
не изменится,если к $\mathcal F^{(2)}(r_1,r_2)$ прибавить произвольную функцию $f(r_2)$ и произвольную антисимметричную функцию $g_a(r_1,r_2)$,но тогда эти произвольные функции появятся в оценке:$$\mathcal F^{(1)}(r_1)-\int \limits _V|\mathcal F^{(
2)}(r_1,r_2)+f(r_2)+g_a(r_1,r_2)|dr_1dr_2\geqslant 0$$
Очень похоже,что подбором произвольных функций $f$ и $g_a$ это условие можно выполнить.

 
 
 
 Re: 2-я вариация (физика): достаточное условие положительности
Сообщение29.02.2012, 15:56 
Аватара пользователя
Да нет, это условие не надо выполнять, оно как раз уже присуще этим функциям. Надо найти нечто типа дифуры или чего-то подобного.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group