Бесконечно много чётных

[Ktina]

Доказать, что среди чисел вида $\lfloor2^{k+\frac{1}{2}}\rfloor$, где $k\in\mathbb N$, бесконечно много чётных.

[Dave]

Пусть $k$ - любое натуральное число и $2^k \sqrt 2=n-d$, где $n \in \mathbb N$, $0<d \leqslant 1$. Если $m=\lfloor 1-\log_2 d \rfloor$, то $m \leqslant 1-\log_2 d < m+1$, $0<m+\log_2 d\leqslant 1$ и $1<2^m d \leqslant 2$. Тогда $2^{k+m+\frac 1 2}=2^m2^k\sqrt 2=2^m n-2^m d$. Т.к. $m \geqslant 1$, то число $2^m n$ чётное и число $\lfloor2^{k+m+\frac 1 2}\rfloor=\lfloor 2^m n-2^m d \rfloor=2^m n-2$ тоже чётное.

[fizmatovets]

Эта задача интересно решается через разложение $\sqrt 2$ в двоичной системе. Умножить на $2^{k}$ в двоичной системе это перенести запятую на $k$ знаков вправо. Если на $k$-том месте после запятой стоит $0$ то целая часть числа будет парной. Предположим, что количество парных среди таких чисел конечное, тогда начиная с какой-то позиции в разложении числа $\sqrt 2$ в двоичной системе будут стоять единицы. Тоесть $\sqrt2$ будет периодическим и рациональным, что противоречит иррациональности $\sqrt2$.

[ИСН]

По той же причине $\sqrt2$ не является числом Пизо.