2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 период движения по фазовой кривой
Сообщение20.12.2006, 22:29 


19/07/05
243
Привет, помогите с задачкой, пожалуйста: Пусть S(E) площадь, заключенная внутри замкнутой фазовой кривой, соответсвующей уровню энергии Е. Доказать, что период движения по этой кривой равен $T=\frac{dS}{dE}$, Мои соображения: сначала я думал что надо как-нибудь перейти от интеграла по площади к интегралу вдоль кривой (пошаманить с формулой Грина), которой уровень энегрии Е и соответсвтует и затем используя параметризацию по времени записать у этого интеграла пределы от 0 до Т, потом продифференцировать по Е подынтегральное выражение. Но ничего не получается у меня. Прошу помощи, а то начал читать Арнольда, увидел там эту задачку и не дает она мне покоя :wink:
Да зыбыл сказать - это задача, естественно, для системы с одной степенью свободы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2006, 19:38 


19/07/05
243
Ну хоть какие-нибудь соображения есть? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: период движения по фазовой кривой
Сообщение24.12.2006, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Zo писал(а):
Привет, помогите с задачкой, пожалуйста: Пусть S(E) площадь, заключенная внутри замкнутой фазовой кривой, соответсвующей уровню энергии Е. ..

Я знаю, что такое фазовая кривая , но вот про уровни энергии для дифференциальных уравнений не слыхал. Хорошо бы сначала увидеть контекст, а потом пытаться помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: период движения по фазовой кривой
Сообщение24.12.2006, 22:06 


19/07/05
243
Brukvalub писал(а):
Zo писал(а):
Привет, помогите с задачкой, пожалуйста: Пусть S(E) площадь, заключенная внутри замкнутой фазовой кривой, соответсвующей уровню энергии Е. ..

Я знаю, что такое фазовая кривая , но вот про уровни энергии для дифференциальных уравнений не слыхал. Хорошо бы сначала увидеть контекст, а потом пытаться помочь.

В данном случае Е=T+U, где Т - кинетическая энергия, U - потенциальная, E - первый интеграл уравнения $\ddot x=f(x)$, $T=\frac{1}{2}\dot x^2$, $U(x)=-\int\limit_{x_0}^{x} f(\xi)d\xi$. Эта задачка из книги Арнольда "Мат. методы классической механики".
Подскажите, пожалуйста, идею решения :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 21:56 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Итак, у нас есть система
$\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y,\\
\dot{y}=-f(x)=-\frac{\partial U}{\partial x}.\\
\end{array}\right.$

Мы знаем (Фихтенгольца читали), что площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой, вычисляется по формуле
$S=\frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{T+t_0} [x(t)y'(t)-y(t)x'(t)] dt$.

Подставим уравнения системы в эту замечательную формулу и заметим, кстати, что $y^2=2(E-U(x))$ (это интеграл системы, а $E$ - это как раз энергия).

Итак,
$S(E)=\frac{1}{2} \int\limits_{t_0}^{T+t_0} (-x\frac{\partial U}{\partial x}-y^2) dt.$

А теперь подставим $y^2$, продифференцируем этот интеграл с параметром $E$ по этому самому параметру, а потом его возьмем.

Победа!

UPD Исправил. Уже два раза. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 22:30 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Согласно обозначениям $\dot y = f(x) = -\frac{dU}{dx}$. И в интеграле не так.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.12.2006, 12:23 


19/07/05
243
V.V. Спасибо за решение :lol: . Я к своему стыду совсем матан забыл. К тому же и Фихтенгольца не читал - только Зорича местами
:oops:

V.V. вопрос такой, чтобы мне до конца понять решение: вы взяли частную производную от подынтегрального выражения. А написана полная в условии. Разве остальные подынтегральные слагаемые не надо дифференцировать, они же зависят от параметра E?
Я так решал по формуле Грина: $\int\limits_{D}dxdy=\int\limits_{0}^{T}x\dot y dt=-\int\limits_{0}^{T}x(t)\frac{\partial U}{\partial x}dt$. Где D-область, ограниченная замкнутым контуром. А далее надо взять полную производную по Е от подынтегрального выражения, что у меня и не получилось.

Так секундочку, а почему здесь: $S(E)=\frac{1}{2} \int\limits_{t_0}^{T+t_0} (-x\frac{\partial U}{\partial x}+y^2) dt.$ под интегралом +y^2, а не -y^2

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group